Матриці та визначники: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: визначник матриці · обернена матриця

Безкоштовні задачі з теми Матриці та визначники з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: визначник 2×2, 3×3 і добутки, власні значення і системи.

Безкоштовна задачаЛегка
A =9−6−8−5

Знайдіть визначник det A поданої матриці A.

A = [9 −6; −8 −5]

Точна відповідь: ціле число, без округлення.

Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Матриці та визначникиТренуйтеся зараз: Матриці та визначникиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкавизначник 2×2
  2. Середня3×3 і добутки
  3. Складнавласні значення і системи

Основні формули

визначник 2×2
det = ad − bc
Обернена матриця 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Продукт
(AB)ij = Σk AikBkj
Власні значення
det(A − λI) = 0
Правило Крамера
xi = det(Ai)/det(A)

Вивчайте тему «Матриці та визначники» з нуля

1Матриці та визначник 2×2

Матриця — це таблиця чисел у рядках і стовпцях. Матрицю з 2 рядками і 3 стовпцями називають матрицею 2×3: спочатку рядки, потім стовпці.

Інженери використовують матриці, щоб записувати багато рівнянь одразу. Система 2x + y = 5 і x − y = 1 зберігається як матриця [2 1; 1 −1] її коефіцієнтів.

Квадратна матриця має одне особливе число — свій визначник, який записують det A. Для матриці 2×2 це добуток однієї діагоналі мінус добуток іншої.

abcdA =+ad−bc
det A = a·d − b·c

Для [3 1; 2 4] визначник дорівнює 3·4 − 1·2 = 10.

Якщо det A = 0, матриця не має оберненої, а система рівнянь не має єдиного розв’язку.

Самоперевірка Чому дорівнює визначник [4 2; 3 5]? (Рядок 1: 4 2, рядок 2: 3 5.)
  1. 14
  2. 26
  3. 9
  4. −14

Відповідь: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. Додавання двох добутків дає 26, а bc − ad дає −14.

2Визначники 3×3 і добутки

Для матриці 3×3 розкладайте за першим рядком. Кожен елемент множиться на свій мінор: визначник 2×2, що лишається, коли викреслити рядок і стовпець цього елемента.

det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13

Знаки йдуть + − + уздовж першого рядка. Цю схему знаків найлегше забути.

Добуток матриць AB будується з рядків A і стовпців B. Елемент у рядку i, стовпці j — це рядок i матриці A, помножений на стовпець j матриці B: перемножте пари й додайте.

[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]

Добуток існує, лише коли A має стільки стовпців, скільки B має рядків. Загалом AB не дорівнює BA.

Самоперевірка A = [2 1; 0 3] і B = [1 4; 2 1]. Чому дорівнює елемент у рядку 1, стовпці 2 матриці AB?
  1. 13
  2. 4
  3. 6
  4. 9

Відповідь: 9. Рядок 1 матриці A — (2, 1), а стовпець 2 матриці B — (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Перемноження лише відповідних елементів дає 1·4 = 4, а 13 — це елемент BA.

3Власні значення та системи

Власне значення λ матриці A — це число, для якого A·v = λ·v для деякого вектора v ≠ 0. Матриця лише розтягує цей вектор, а не повертає його.

Власні значення знаходять із характеристичного рівняння. Тут I — одинична матриця [1 0; 0 1].

det(A − λI) = 0

Для матриці 2×2 воно стає квадратним. Його середній коефіцієнт — це слід a + d, а вільний член — det A:

λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0

Для [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, тож (λ − 2)(λ − 5) = 0, і власні значення — 2 та 5.

Правило Крамера розв’язує систему за допомогою визначників. Замініть стовпець i матриці A правою частиною, щоб отримати Ai, тоді xi = det Ai / det A.

Для 2x + y = 5 і x − y = 1: det A = −3 і det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, тож x = −6/−3 = 2.

Самоперевірка Яке більше власне значення матриці [2 1; 1 2]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Відповідь: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 дає (λ − 1)(λ − 3) = 0, тож власні значення — 1 і 3. 4 — це слід, тобто сума власних значень, а не одне з них.

4Метод крок за кроком

  1. Уважно перепишіть матрицю з усіма знаками мінус.
  2. Визначник 2×2: ad − bc.
  3. Визначник 3×3: для кожного елемента першого рядка викресліть його рядок і стовпець та знайдіть мінор 2×2.
  4. Об’єднайте зі знаками + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
  5. Власні значення: запишіть λ² − (a + d)λ + det A = 0 і розв’яжіть квадратне рівняння.
  6. Перевірка: рядок із нулів або два однакові рядки завжди дають det A = 0.

Порада: розкладайте за рядком або стовпцем із багатьма нулями. Кожен нульовий елемент економить один мінор.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Знайдіть визначник матриці 3×3 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].

1

Перший мінор

210131024A =

Викресліть рядок 1 і стовпець 1 елемента 2. Лишається [3 1; 2 4].

M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2

Другий мінор

210131024A =

Викресліть рядок 1 і стовпець 2 елемента 1. Лишається [1 1; 0 4].

M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3

Третій мінор

Елемент a13 дорівнює 0, тож його доданок 0 незалежно від мінора. Його можна пропустити.

4

Об’єднайте зі знаками + − +

det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5

Перевірте відповідь

Для матриць 3×3 правило Саррюса дає те саме значення: три добутки «спадних» діагоналей мінус три добутки «висхідних» діагоналей.

(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
Відповідь

det A = 16

6Типові помилки

  • Забувати знак мінус для середнього доданка в розкладі 3×3.
  • Обчислювати bc − ad замість ad − bc.
  • Губити знак мінус, коли елемент від’ємний: −2 · −3 дорівнює +6.
  • Перемножувати матриці елемент на елемент замість рядка на стовпець.
  • Брати слід або діагональний елемент за власне значення замість розв’язання характеристичного рівняння.
Самоперевірка Чому дорівнює визначник [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2]?
  1. 10
  2. 14
  3. −10
  4. −14

Відповідь: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Використання + для середнього доданка дає 2 + 12 = 14, найпоширеніший промах.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: визначник матриці 2×2, часто з від’ємними елементами. Використайте ad − bc.
  • Середній: визначник 3×3 або добуток матриць. Розкладайте за першим рядком зі знаками + − +.
  • Складний: власні значення матриці 2×2 або одне невідоме системи 2×2 за правилом Крамера.

Швидка перевірка власних значень: їхня сума має дорівнювати сліду a + d, а добуток — det A.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
A =1−8−10

Знайдіть визначник det A поданої матриці A.

A = [1 −8; −1 0]

Знайти: det A

Показати підказки
  1. Для матриці 2×2 det = ad − bc.
  2. a і d лежать на головній діагоналі, b і c — на побічній.
  3. ad = 0.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.

Добутки діагоналей

ad − bc = 1·0 − (−8)·(−1) = 0 − 8 = −8

Відповідь

det A = −8
Приклад 2Середня
A =−153−5−1−3−513

Знайдіть визначник det A поданої матриці 3×3 A.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Знайти: det A

Показати підказки
  1. Розкладіть за першим рядком зі знаками + − +.
  2. Кожен доданок — елемент, помножений на визначник 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця.
  3. мінори: 0, −30, −10.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.

Мінори 2×2 першого рядка

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Розклад за рядком

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Відповідь

det A = 120
Приклад 3Складна
A =−3−5−2−4b =19

Розв'яжіть систему −3x − 5y = 1 і −2x − 4y = 9. Знайдіть x.

−3x − 5y = 1−2x − 4y = 9

Знайти: x

Показати підказки
  1. Правило Крамера: x = det(Aₓ)/det(A), де в Aₓ перший стовпець замінено правою частиною.
  2. det A = 2.
  3. det Aₓ = 41.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.

Визначник матриці коефіцієнтів

det A = (−3)·(−4) − (−5)·(−2) = 2

Замініть стовпець x

det Aₓ = 1·(−4) − (−5)·9 = 41
x = 41/2 = 20,5

Відповідь

x = 20,5
y = −12,5

Запитання й відповіді

Матриці та визначники: що це?

Інженери використовують матриці, щоб записувати багато рівнянь одразу. Система 2x + y = 5 і x − y = 1 зберігається як матриця [2 1; 1 −1] її коефіцієнтів.

Квадратна матриця має одне особливе число — свій визначник, який записують det A. Для матриці 2×2 це добуток однієї діагоналі мінус добуток іншої.

Матриці та визначники: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Матриці: визначник матриці 2×2 дорівнює ad − bc. Для 3×3 розкладіть за рядком: кожен елемент множиться на визначник матриці 2×2, що залишається після викреслення його рядка і стовпця, зі знаками, що чергуються: + − +. Власні значення λ задовольняють det(A − λI) = 0; для 2×2 це λ² − (слід)·λ + det = 0.

Матриці та визначники: що ви тренуєте?
  • Легка: визначник 2×2
  • Середня: 3×3 і добутки
  • Складна: власні значення і системи

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Калькулятори

Калькулятор визначника й оберненої матриціКалькулятор власних значень і власних векторівКалькулятор систем лінійних рівнянь (2×2 і 3×3)

Курси з цією темою

Вища математикаІнженерна математика 2Чисельні методи

Інші теми: Математика і статистика

ГраниціПохідніОптимізаціяІнтегралиПослідовності та рядиДиференціальне числення функцій багатьох зміннихДиференціальні рівнянняКомплексні числаЧисельні методиВектори: скалярний і векторний добуткиЛогіка висловлювань і доведенняМножини, відношення та функціїТеорія графівТеорія чисел і арифметика за модулемІмовірністьОписова статистикаНормальний розподілДовірчі інтервалиПеревірка гіпотез і довірчі інтервалиЛінійна регресія та кореляціяКритерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Матриці та визначники» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Матриці та визначникиТренуйтеся зараз: Матриці та визначникиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.