Комплексні числа: задачі з покроковими розв’язками
Безкоштовні задачі з теми Комплексні числа з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: арифметика в алгебраїчній формі, полярна та показникова форми, Формула Муавра, корені та рівняння.
Безкоштовна задачаЛегка
Для z₁ = 1 + j4 і z₂ = 5 + j6 знайдіть уявну частину w = 2z₁ + 5z̄₂.
Рівняння x² = −1 не має дійсного розв’язку. Інженери додають нове число j із j² = −1. Математики пишуть i; в інженерії використовують j, бо i вже означає струм.
Комплексне число має вигляд z = a + jb. Число a — це дійсна частина, а b — уявна частина: Re(z) = a і Im(z) = b.
Число z можна зобразити як точку (a, b) на комплексній площині (діаграмі Арганда): дійсна частина — вздовж горизонтальної осі, уявна — вздовж вертикальної.
Відстань від початку координат — це модуль |z| = √(a² + b²). Кут від додатної дійсної осі — це аргумент θ. Дзеркальне відображення відносно дійсної осі, z̄ = a − jb, — це спряжене число.
Самоперевірка Чому дорівнює модуль z = 3 − j4?
25
5
7
−1
Відповідь: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Додавання 3 і 4 дає 7, а якщо забути квадратний корінь, вийде 25.
2Додавання, множення і ділення
Додавайте й віднімайте покомпонентно: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Відповідь: 2. Це число, помножене на своє спряжене: 1² + 1² = 2. Запис 1 − j² як 1 − 1 = 0 забуває, що j² = −1, тож −j² = +1.
3Полярна та показникова форми
Точку можна також задати відстанню та кутом: z = r∠θ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ і b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
Остання форма використовує формулу Ейлера ejθ = cos θ + j sin θ. У показниковій формі θ має бути в радіанах.
Стежте за чвертю. Калькулятор дає atan(b/a) між −90° і 90°. Якщо a < 0, точка лежить ліворуч, тож додайте або відніміть 180°.
Приклад: z = −2 + j2. Тоді r = √8 = 2,828. Опорний кут дорівнює atan(2/2) = 45°, а точка лежить у другій чверті, тож θ = 180° − 45° = 135°.
Самоперевірка Чому дорівнює аргумент z = −1 − j між −180° і 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Відповідь: −135°. Точка лежить у третій чверті. Опорний кут дорівнює 45°, тож θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° вказує на протилежну чверть.
4Множення в полярній формі, степені та корені
У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи. Для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Повторення цього дає формулу Муавра: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів. Усі вони мають модуль R1/n і аргументи (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1.
Для z³ = 8 = 8∠0°: модуль дорівнює 2, а аргументи — 0°, 120° і 240° (тобто −120°). Корені утворюють правильний трикутник на колі.
Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені −p/2 ± j√(q − p²/4). Дійсні многочлени завжди мають комплексні корені спряженими парами.
5Розв’язаний приклад
Степені чисел на кшталт 1 + j набагато швидше обчислювати в полярній формі, ніж перемножуючи.
Розв’язаний приклад
Обчисліть (1 + j)6 за формулою Муавра.
1
Запишіть 1 + j у полярній формі
r = √(1² + 1²) = √2. Точка лежить у першій чверті, тож θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Застосуйте формулу Муавра
Піднесіть модуль до степеня 6 і помножте кут на 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Приведіть кут до діапазону
270° — це той самий напрямок, що й −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Назад до алгебраїчної форми
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Відповідь
(1 + j)6 = −j8: дійсна частина 0, уявна частина −8.
6Типові помилки та екзаменаційні запитання
Забути, що j² = −1, коли розкриваєте дужки, через що доданок отримує неправильний знак.
Ділити покомпонентно: (a + jb)/(c + jd) — це не a/c + jb/d. Використовуйте спряжене.
Брати atan(b/a) як аргумент, коли a < 0. Спершу накресліть точку.
Використовувати градуси в ejθ або лишати калькулятор у радіанах для r∠θ, заданого в градусах.
У формулі Муавра: забути піднести модуль до степеня або дати лише один корінь zⁿ = w.
Легкі запитання стосуються частини добутку, частки чи суми. Середні перетворюють між алгебраїчною, полярною та показниковою формами. Складні використовують формулу Муавра, корені n-го степеня та многочленні рівняння.
Самоперевірка z₁ = 2∠30° і z₂ = 4∠50°. Чому дорівнює z₁·z₂?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Відповідь: 8∠80°. Перемножте модулі (2·4 = 8) і додайте аргументи (30° + 50° = 80°). Додавання модулів дає 6, а множення кутів не має сенсу.
Для z₁ = −7 + j і z₂ = 4 + j2 знайдіть дійсну частину добутку z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Знайти: Re(z₁z₂)
Показати підказки
Розкрийте дужки, як у (a + b)(c + d), що дає чотири доданки.
Замініть j² на −1, щоб один із чотирьох доданків став дійсним.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Комплексні числа: z = a + jb має дійсну частину a та уявну частину b, де j² = −1 (математики пишуть i). Додавайте й віднімайте покомпонентно; розкрийте дужки й замініть j² на −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника, z̄ = a − jb, бо z·z̄ = a² + b² є дійсним. На комплексній площині (діаграмі Арганда) z — це точка (a, b): її відстань від початку координат є модулем |z| = √(a² + b²), а кут від додатної дійсної осі — аргументом θ.
Запишіть z = 4∠160° в алгебраїчній формі a + jb і дайте уявну частину b.
r = 4θ = 160°
Знайти: b
Показати підказки
a = r·cos θ і b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Помножте на r = 4.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Полярна форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, де r = |z| і θ = arg z. Назад до алгебраїчної форми: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргументу потрібна чверть: θ = atan(b/a) лише за a > 0; за a < 0 додайте або відніміть 180°. У полярній формі множення просте: перемножте модулі й додайте аргументи; для ділення поділіть модулі й відніміть аргументи.
Складові
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Алгебраїчна форма
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Відповідь
b = 1,368
Приклад 3Складна
Корені рівняння zⁿ = w з n = 4 і w = 16∠−60° мають вигляд zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Знайдіть дійсну частину z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Знайти: Re(z₂)
Показати підказки
Кожен корінь має модуль R1/n = 161/4 = 2.
Аргумент z₂ дорівнює (φ + 360°·k)/n, де φ = −60°, k = 2 і n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Формула Муавра та корені: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Рівняння zⁿ = R∠φ має рівно n коренів, усі з модулем R1/n, з аргументами (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: вони лежать рівномірно на колі, на відстані 360°/n один від одного. Квадратне рівняння z² + pz + q = 0 за p² < 4q має комплексні корені z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен з дійсними коефіцієнтами завжди має комплексні корені спряженими парами a ± jb.
Модуль коренів
161/4 = 2
Аргумент кореня
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Алгебраїчна форма
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Відповідь
Re(z₂) = −1,932
4 коренів лежать на колі радіусом 2 на відстані 90° один від одного.
Запитання й відповіді
Комплексні числа: що це?
Рівняння x² = −1 не має дійсного розв’язку. Інженери додають нове число j із j² = −1. Математики пишуть i; в інженерії використовують j, бо i вже означає струм.
Число z можна зобразити як точку (a, b) на комплексній площині (діаграмі Арганда): дійсна частина — вздовж горизонтальної осі, уявна — вздовж вертикальної.
Комплексні числа: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Оберіть форму, що підходить для операції: алгебраїчну a + jb для додавання й віднімання, полярну r∠θ для множення, ділення, степенів і коренів.
Розкривайте дужки з j² = −1; діліть, помноживши чисельник і знаменник на спряжене знаменника.
Перетворюйте за r = √(a² + b²) і θ за ескізом точки (перевірте чверть), а назад — за a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степенів користуйтеся формулою Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ випишіть усі n коренів R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Комплексні числа: які помилки найпоширеніші?
Вважати j² рівним +1 під час розкриття дужок.
Ділити дійсну й уявну частини окремо.
Брати atan(b/a) як аргумент для точки в лівій півплощині.
Змішувати градуси й радіани, особливо в ejθ.
Давати лише один корінь zⁿ = w або забути взяти корінь n-го степеня з модуля.
Комплексні числа: що ви тренуєте?
Легка: арифметика в алгебраїчній формі
Середня: полярна та показникова форми
Складна: Формула Муавра, корені та рівняння
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.