Безкоштовні задачі з теми Описова статистика з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: середнє і медіана, стандартне відхилення, нормальний розподіл.
Описова статистика підсумовує список чисел, званих даними, кількома значеннями. Перше запитання: де центр?
Середнє — це звичайне арифметичне: додайте всі значення й поділіть на їхню кількість n.
x̄ = Σx / n
Символ Σ означає «додати все», а x̄ читається «x з рискою». Для 3, 5 і 10 середнє дорівнює 18/3 = 6.
Медіана — це середнє значення після того, як ви впорядкуєте дані від меншого до більшого.
Непарне n: медіана — єдине середнє значення. Для 3, 5, 10 це 5.
Парне n: медіана — середнє двох серединних значень.
Одне екстремальне значення, викид, тягне середнє до себе, але майже не зсуває медіану. Тому доходи часто підсумовують медіаною.
Самоперевірка Яка медіана чисел 4, 40, 29, 22, 17, 20?
20
21
22
25,5
Відповідь: 21. Упорядковано: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Два серединні значення — 20 і 22, тож медіана дорівнює 21. 25,5 отримано із середини невпорядкованого списку; 22 — це середнє.
2Розкид: стандартне відхилення
Два набори даних можуть мати те саме середнє, але дуже різний розкид. Стандартне відхилення s вимірює, наскільки значення зазвичай віддалені від середнього.
Кожне значення має відхилення x − x̄. Відхилення в сумі дають нуль, тому їх спершу підносять до квадрата, і всі вони стають додатними.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Це вибіркове стандартне відхилення: ділимо на n − 1, а не на n. Квадрат s називають дисперсією.
Для 2, 4 і 6: середнє дорівнює 4, відхилення −2, 0 і 2, квадрати в сумі дають 8, 8/2 = 4, а s = √4 = 2.
Самоперевірка Яке вибіркове стандартне відхилення чисел 2, 4 і 6?
0
1,633
2
4
Відповідь: 2. Σ(x − x̄)² = 8, поділено на n − 1 = 2 дає 4, а √4 = 2. Ділення на n = 3 дає 1,633; 4 забуває квадратний корінь, а 0 — це сума відхилень до піднесення до квадрата.
3z-оцінки та нормальний розподіл
Багато вимірювань, як-от зріст чи оцінки на іспиті, мають дзвоноподібну криву: нормальний розподіл. Його центр — середнє μ, а ширина — стандартне відхилення σ.
z-оцінка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього:
z = (x − μ) / σ
При μ = 70 і σ = 10 оцінка 74 має z = 4/10 = 0,4. Від’ємне z означає, що значення лежить нижче середнього.
Правило 68–95–99,7: близько 68% значень лежать у межах 1σ від середнього, 95% — у межах 2σ і 99,7% — у межах 3σ.
При μ = 50 і σ = 5 значення 60 має z = 2. Близько 95% лежить між 40 і 60, тож близько 2,5% лежить вище 60. Таблиця z дає точне значення 0,0228.
Самоперевірка Показники IQ нормально розподілені з μ = 100 і σ = 15. Який приблизно відсоток людей має показник вище 115?
16%
32%
34%
68%
Відповідь: 16%. 115 лежить на 1σ вище за середнє. У межах 1σ лежить 68%, тож 32% лежить поза ними, порівну в обох хвостах: 16% вище. 32% забуває розділити два хвости.
4Метод крок за кроком
Запишіть дані в рядок і порахуйте n.
Середнє: додайте все й поділіть на n.
Медіана: спершу впорядкуйте, потім візьміть серединне значення або середнє двох серединних значень.
Стандартне відхилення: відніміть середнє від кожного значення, піднесіть до квадрата, додайте, поділіть на n − 1, візьміть квадратний корінь.
z-оцінка: відніміть μ, поділіть на σ. Потім використайте правило 68–95–99,7 або таблицю z для частки.
Таблиця зі стовпцями x, x − x̄ і (x − x̄)² упорядковує обчислення стандартного відхилення.
5Розв’язаний приклад
Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Знайдіть середнє, медіану та вибіркове стандартне відхилення s даних: 4, 8, 6, 5, 7.
1
Середнє
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
Медіана
Упорядковано: 4, 5, 6, 7, 8. При n = 5 серединне значення — третє.
медіана = 6
3
Відхилення та квадрати
Відніміть середнє від кожного значення: −2, 2, 0, −1, 1. Перевірка: у сумі вони дають 0.
Піднесіть їх до квадрата: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Поділіть на n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Добудьте квадратний корінь
s = √2,5 ≈ 1,58
Перевірка: значення лежать на 0, 1 або 2 від середнього, тож типова відстань близько 1,6 має сенс.
Відповідь
Середнє x̄ = 6, медіана 6 і s ≈ 1,58.
6Типові помилки
Брати середину списку, не впорядкувавши його.
Ділити на n замість n − 1 для вибіркового стандартного відхилення.
Забути квадратний корінь наприкінці, через що виходить дисперсія, а не s.
Помилитися із знаком z-оцінки: значення нижче середнього має від’ємне z.
Забути поділити на σ у z-оцінці.
Самоперевірка Оцінки на іспиті мають середнє 70 і стандартне відхилення 10. Яка z-оцінка результату 60?
1
6
−10
−1
Відповідь: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. Результат лежить нижче середнього, тож z від’ємне. −10 забуває поділити на σ.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легко: середнє або медіана короткого списку даних.
Середньо: вибіркове стандартне відхилення п’яти чи шести значень. Діліть на n − 1.
Складно: нормальний розподіл. Знайдіть z-оцінку або частку значень вище чи нижче за задане значення.
Швидка перевірка: середнє та медіана лежать між найменшим і найбільшим значеннями, а s ніколи не буває від’ємним.
Упорядкуйте значення від найменшого до найбільшого.
За непарної кількості значень медіана — це середнє з них.
упорядковано: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Піднесіть до квадрата кожне відхилення від середнього, додайте, поділіть на n − 1 і добудьте корінь.
x̄ = 37,71.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 36?
μ = 60σ = 12x = 36
Знайти: P
Показати підказки
Спочатку перейдіть до z-оцінки.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Знайдіть Φ(z) у таблиці стандартного нормального розподілу.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
Запитання й відповіді
Описова статистика: що це?
Описова статистика підсумовує список чисел, званих даними, кількома значеннями. Перше запитання: де центр?
Символ Σ означає «додати все», а x̄ читається «x з рискою». Для 3, 5 і 10 середнє дорівнює 18/3 = 6.
Описова статистика: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: що ви тренуєте?
Легка: середнє і медіана
Середня: стандартне відхилення
Складна: нормальний розподіл
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.