Вища математика: тренувальні задачі й екзаменаційні питання

Математика, на якій ґрунтуються інженерні курси: числення, комплексні числа, матриці, імовірність і статистика.

Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Шпаргалка-підсумок (PDF)Аркуші з формулами, кроки методів і задачі для практики з повними розв’язками, готові до друку.

Теми цього курсу

  1. Границіпряма підстановка й розкладання на множники · границі на нескінченності · Правило Лопіталярозрахунки
  2. Похідністепеневе правило · ланцюгове правило і правило добутку · дотичні та екстремумирозрахунки
  3. Інтегралимногочлени · експоненти, логарифми й заміна змінної · площі між кривимирозрахунки
  4. Комплексні числаарифметика в алгебраїчній формі · полярна та показникова форми · Формула Муавра, корені та рівняннярозрахунки
  5. Диференціальні рівнянняекспоненціальне зростання й спадання · Закон охолодження Ньютона · лінійні першого порядкурозрахунки
  6. Матриці та визначникивизначник 2×2 · 3×3 і добутки · власні значення і системирозрахунки
  7. Вектори: скалярний і векторний добуткимодуль і компоненти · скалярний добуток · векторний добуток і моментирозрахунки
  8. Імовірністьрівноможливі наслідки · підрахунок і протилежні події · біноміальний розподілрозрахунки
  9. Описова статистикасереднє і медіана · стандартне відхилення · нормальний розподілрозрахунки
  10. Нормальний розподілплоща в одному хвості · площа між двома значеннями · процентилірозрахунки

Поради до іспиту: Вища математика

  • Перевірте розміри матриць перед множенням.
  • Нульовий визначник означає, що матриця не має оберненої.
  • Накресліть ескіз функції, перш ніж диференціювати чи інтегрувати її; ескіз допомагає вловити помилки в знаках.

Розв’язані приклади

ГраниціЛегка
xyx = 1

Знайдіть границю L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Знайти: L

Показати підказки
  1. Підстановка дає 0/0. Розкладіть чисельник на множники.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Спробуйте пряму підстановку

чисельник → 0 і знаменник → 0, тож маємо невизначеність 0/0.

Розкладіть на множники й скоротіть

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Підставте

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Відповідь

L = 4

Це похідна xⁿ у точці x = a: n·aⁿ⁻¹.

ПохідніСередня
xyx = 1

Нехай f(x) = x3·e−x. Знайдіть f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Знайти: f′(1)

Показати підказки
  1. Правило добутку з u = x3 і v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Підставте

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Відповідь

f′(1) = 0,7358

Як проходить тренування

  • «Тренувати цей курс» змішує задачі з усіх його тем, як на справжньому іспиті.
  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Пробні іспити обмежені в часі й не мають підказок, а наприкінці ви отримуєте результат і повний розбір.

Калькулятори для цього курсу

Калькулятор z-оцінки й нормальної ймовірностіКалькулятор середнього, медіани й стандартного відхиленняКалькулятор визначника й оберненої матриціКалькулятор нормального розподілуКалькулятор біноміального розподілуКалькулятор розподілу ПуассонаКалькулятор розміщень і комбінацій (nPr і nCr)Калькулятор власних значень і власних векторівКалькулятор математичного сподівання та дисперсіїКалькулятор періоду напіврозпаду й експоненціального розпадуКалькулятор значущих цифр (підрахунок, округлення та обчислення)Калькулятор відсоткової похибки (та відсоткової різниці)Калькулятор квадратних рівнянь (ax² + bx + c = 0)Калькулятор систем лінійних рівнянь (2×2 і 3×3)Калькулятор похідної з крокамиКалькулятор інтегралів (визначених і невизначених)

Пов’язані курси

Інженерна математика 2Тренувальні задачі AP CalculusМатематичний аналіз 1Основи статистикиДиференціальні рівнянняТренувальні задачі AP StatisticsМетоди досліджень і статистика в психологіїТренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I
Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.