Диференціальні рівняння: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: звичайні диференціальні рівняння

Безкоштовні задачі з теми Диференціальні рівняння з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: експоненціальне зростання й спадання, Закон охолодження Ньютона, лінійні першого порядку.

Безкоштовна задачаЛегка
ty1

Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 4,8y′ + 4y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

y″ + 4,8y′ + 4y = 0
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Диференціальні рівнянняТренуйтеся зараз: Диференціальні рівнянняБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкаекспоненціальне зростання й спадання
  2. СередняЗакон охолодження Ньютона
  3. Складналінійні першого порядку

Основні формули

Експоненціальне зростання/спадання
dy/dt = ky → y = y0ekt
Період напіврозпаду
k = ln 2 / t½
Закон охолодження Ньютона
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Інтегрувальний множник
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Бак змішування
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Вивчайте тему «Диференціальні рівняння» з нуля

Перед цим: Похідні, Інтеграли

1Що таке диференціальне рівняння

Диференціальне рівняння пов’язує величину з її власною швидкістю зміни. Воно описує, як щось змінюється, а не що воно є.

Бактерії діляться, тож більша колонія росте швидше. Швидкість росту пропорційна кількості клітин N:

dN/dt = k · N

Тут dN/dt — похідна N за часом t, а k — стала швидкості. З k = 0,4 h⁻¹ і N = 1000 клітин колонія в цей момент збільшується на 400 клітин за годину.

Розв’язати рівняння означає знайти саму функцію N(t). Вам також потрібне початкове значення, наприклад N(0) = 200. Це називають початковою умовою.

Самоперевірка Популяція підпорядковується dN/dt = 0,2 · N. У цей момент N = 500. Як швидко вона росте?
  1. 0,2 за годину
  2. 100 за годину
  3. 2500 за годину
  4. 500 за годину

Відповідь: 100 за годину. Підставте числа в рівняння: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. Ділення 500 на 0,2 дає 2500, що використовує k навпаки.

2Експоненціальне зростання та спадання

Рівняння dy/dt = k·y завжди має той самий розв’язок — експоненціальну функцію:

y(t) = y0 · ekt

Тут y0 — значення за t = 0. Додатне k означає зростання. Для спадання рівняння dy/dt = −k·y, а розв’язок y = y0e−kt.

Радіоактивний розпад часто задають періодом напіврозпаду t½: часом, після якого лишається половина речовини. Стала швидкості випливає з нього:

k = ln 2 / t½

Щоб знайти час, візьміть натуральний логарифм обох частин:

t = ln(y / y0) / k

Наприклад, 200 клітин, що ростуть з k = 0,4 h⁻¹, досягають 1000 клітин за t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.

Самоперевірка Речовина має період напіврозпаду 10 днів. Ви починаєте з 80 mg. Скільки лишиться через 20 днів?
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

Відповідь: 20 mg. 20 днів — це два періоди напіврозпаду: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg виходить з думки, що дві половини дають ціле; кількість зменшується вдвічі щоразу.

3Охолодження та лінійні рівняння

Закон охолодження Ньютона: гарячий предмет охолоджується швидше, коли він значно гарячіший за кімнату. З температурою кімнати Ta:

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

Різниця T − Ta спадає експоненціально, тож температура наближається до температури кімнати й ніколи не опускається нижче за неї.

Щоб знайти k за одним вимірюванням, підставте відомі значення й візьміть ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.

Лінійне рівняння першого порядку має вигляд y′ + p(x)·y = q(x). Помножте його на інтегрувальний множник μ:

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

Потім проінтегруйте обидві частини й поділіть на μ. Для p = 2/x маємо μ = e2 ln x = x².

Самоперевірка Чай із температурою 90 °C залишили в кімнаті з температурою 20 °C. До якої температури він наближається через дуже довгий час?
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

Відповідь: 20 °C. Доданок (T0 − Ta)e−kt прямує до 0, тож T наближається до Ta = 20 °C. 0 °C було б відповіддю, якби ви забули температуру кімнати.

4Метод крок за кроком

  1. Розпізнайте тип: dy/dt = ky (зростання чи спадання), охолодження за Ньютоном або y′ + p(x)y = q(x).
  2. Запишіть стандартний розв’язок для цього типу.
  3. Використайте задані дані, щоб знайти сталі: y0 з початку, k з періоду напіврозпаду або другого вимірювання.
  4. Дайте відповідь на запитання: підставте час, щоб знайти значення, або скористайтеся ln, щоб знайти час.
  5. Перевірте одиниці k (h⁻¹, min⁻¹) відносно одиниць t.

Для лінійного рівняння: знайдіть μ, проінтегруйте (μy)′ = μq, додайте сталу C, потім використайте початкову умову, щоб знайти C.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 8 днів. Зразок на початку містить 60 mg. Розпад підпорядковується dm/dt = −k·m. Скільки m лишиться через 12 днів?

1

Розпізнайте тип

Це експоненціальне спадання, тож розв’язок такий:

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

Знайдіть k з періоду напіврозпаду

k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 доба⁻¹
3

Підставте час

k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
4

Перевірте відповідь

12 днів — це 1,5 періоду напіврозпаду. Через 8 днів лишається 30 mg, а через 16 днів — 15 mg, тож 21,2 mg лежить між ними, як і слід чекати.

60 · 0,51,5 = 21,21 mg
tm608301615247,51221,2
Відповідь

m ≈ 21,2 mg лишається через 12 днів.

6Типові помилки

  • У законі охолодження Ньютона забувати відняти й додати назад температуру кімнати Ta.
  • Використовувати додатний показник для спадання, через що кількість зростає, а не зменшується.
  • Використовувати log10 замість натурального логарифма ln.
  • Змішувати одиниці часу, наприклад k у min⁻¹ з t у годинах.
  • З інтегрувальним множником помножувати на μ лише ліву частину.
Самоперевірка Деталь із температурою 80 °C охолоджується в кімнаті 20 °C. У деякий момент t маємо e−kt = 0,5. Яка тоді її температура?
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

Відповідь: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. Пряме зменшення 80 удвічі дає 40 °C, що забуває температуру кімнати.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легкий: експоненціальне зростання та спадання. Знайти кількість через певний час або час досягнення кількості, часто за періодом напіврозпаду.
  • Середній: закон охолодження Ньютона. Використайте одне вимірювання, щоб знайти k, потім знайдіть температуру або час.
  • Складний: лінійне рівняння першого порядку, як-от y′ + 2y/x = 3 з y(1) = 1. Використайте інтегрувальний множник і знайдіть y за іншого x.

Швидка перевірка: відповіді для спадання й охолодження мають лежати між початковим і кінцевим значеннями (0 або температурою кімнати).

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
rr² + br + c?

Для рівняння y″ + 4y′ + 3y = 0 знайдіть корінь r характеристичного рівняння, найближчий до нуля. Він визначає, як повільно згасає розв’язок.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Знайти: r

Показати підказки
  1. Підставте y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Розкладіть на множники або скористайтеся формулою коренів квадратного рівняння.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Характеристичне рівняння

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Корені

r = −1, r = −3
найближчий до нуля: r = −1

Відповідь

r = −1

Загальний розв’язок: y = A·e−1t + B·e−3t.

Приклад 2Середня
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

Чашку кави температурою 81 °C залишили в кімнаті з температурою 21 °C. Через 5 min її температура становить 73 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 50 °C?

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

Знайти: t (min)

Показати підказки
  1. Спершу знайдіть k з вимірювання при t = 5 min.
  2. k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Стала охолодження

k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹

Час до досягнення цільової температури

t = ln(60/29)/0,02862 = 25,4 min

Відповідь

t = 25,4 min
Приклад 3Складна
ty1y(1) = ?

Розв’яжіть y′ + y = 4e−2t при y(0) = 4. Знайдіть y(1).

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

Знайти: y(1)

Показати підказки
  1. Інтегрувальний множник μ = et.
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. Знайдіть C з y(0).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Інтегрувальний множник

μ = et
(ety)′ = 4e−t

Загальний розв’язок

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

Початкова умова

4 = −4 + C → C = 8

Обчисліть

y(1) = −4·0,1353 + 8·0,3679 = 2,402

Відповідь

y(1) = 2,402

Запитання й відповіді

Диференціальні рівняння: що це?

Бактерії діляться, тож більша колонія росте швидше. Швидкість росту пропорційна кількості клітин N:

Тут dN/dt — похідна N за часом t, а k — стала швидкості. З k = 0,4 h⁻¹ і N = 1000 клітин колонія в цей момент збільшується на 400 клітин за годину.

Диференціальні рівняння: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = ert: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·er₁t + B·er₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·ert (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Диференціальні рівняння: які помилки найпоширеніші?
  • Це інший корінь, далі від нуля; його доданок згасає швидше.
  • r² + br + c = 0 з додатними b і c має від’ємні корені.
  • −b/2 — це середина між коренями, а не корінь.
Диференціальні рівняння: що ви тренуєте?
  • Легка: експоненціальне зростання й спадання
  • Середня: Закон охолодження Ньютона
  • Складна: лінійні першого порядку

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

ПохідніІнтеграли

Далі

Перетворення ЛапласаЧисельні методи

Калькулятори

Калькулятор періоду напіврозпаду й експоненціального розпаду

Курси з цією темою

Вища математикаДиференціальні рівнянняІнженерна математика 2Математичний аналіз 2Чисельні методиТренувальні задачі AP Calculus

Інші теми: Математика і статистика

ГраниціПохідніОптимізаціяІнтегралиПослідовності та рядиДиференціальне числення функцій багатьох зміннихКомплексні числаЧисельні методиМатриці та визначникиВектори: скалярний і векторний добуткиЛогіка висловлювань і доведенняМножини, відношення та функціїТеорія графівТеорія чисел і арифметика за модулемІмовірністьОписова статистикаНормальний розподілДовірчі інтервалиПеревірка гіпотез і довірчі інтервалиЛінійна регресія та кореляціяКритерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Диференціальні рівнянняТренуйтеся зараз: Диференціальні рівнянняБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.