Критерії хі-квадрат: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: хі-квадрат · критерій Пірсона · критерій χ²

Безкоштовні задачі з теми Критерії хі-квадрат з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: узгодженість, перевірка незалежності, рішення за критичним значенням.

Безкоштовна задачаЛегка
колірчервоніпомаранчевийжовтийзеленісиніспостережувані6129442145заявлені30%20%20%15%15%

Виробник цукерок заявляє частки кольорів, наведені в таблиці. Випадкова вибірка з 200 цукерок дає спостережувані частоти. Обчисліть статистику критерію узгодженості хі-квадрат χ² для H₀: заявлені частки правильні.

n = 200k = 5
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Критерії хі-квадратТренуйтеся зараз: Критерії хі-квадратБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкаузгодженість
  2. Середняперевірка незалежності
  3. Складнарішення за критичним значенням

Основні формули

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

Вивчайте тему «Критерії хі-квадрат» з нуля

Перед цим: Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

1Що робить критерій хі-квадрат

Критерій хі-квадрат (χ², «хі-квадрат») порівнює кількості. Він запитує, чи відрізняються кількості, які ви спостерігаєте, від очікуваних більше, ніж випадково.

Приклад: ви кидаєте кубик 60 разів. Якщо він чесний, кожна грань має випасти приблизно 60 · 1/6 = 10 разів. Це очікувані кількості E.

Ви спостерігаєте 8, 12, 9, 11, 6 і 14. Це спостережені кількості O. Вони ніколи не дорівнюють точно 10, навіть для чесного кубика. Питання в тому, чи надто вони відхиляються.

Як і в кожній перевірці гіпотез, H₀ стверджує, що нічого особливого не відбувається: кубик чесний або дві змінні незалежні.

Самоперевірка Кубик кидають 120 разів, щоб перевірити, чи він чесний. Яка очікувана кількість для кожної грані?
  1. 1/6
  2. 120
  3. 20
  4. 6

Відповідь: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. Імовірність 1/6 не є кількістю; її треба помножити на кількість кидків.

2Статистика критерію

Для кожної категорії візьміть різницю O − E, піднесіть до квадрата й поділіть на E. Потім додайте за всіма категоріями:

χ² = Σ (O − E)² / E

Піднесення до квадрата робить кожен доданок додатним. Ділення на E робить так, що різниця в 4 важить більше, коли очікувалося лише 10, ніж коли очікувалося 1000.

Для кубика: (8 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10 + … + (14 − 10)²/10 = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4,2.

Число ступенів вільності для цього критерію згоди дорівнює df = k − 1, де k — кількість категорій. Шість граней дають df = 5.

Велике χ² означає, що дані погано узгоджуються з H₀. Відхиліть H₀, якщо χ² більше за критичне значення з таблиці. При α = 0,05:

  • df 1: 3,841, df 2: 5,991, df 3: 7,815
  • df 4: 9,488, df 5: 11,070, df 6: 12,592

Для кубика 4,2 менше за 11,070, тож немає підстав вважати його нечесним.

Самоперевірка Одна категорія має O = 14 і E = 10. Що вона додає до χ²?
  1. 0,4
  2. 1,6
  3. 16
  4. 4

Відповідь: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Якщо забути піднести до квадрата, вийде 0,4, а якщо забути поділити на E — 16.

3Критерій незалежності

Таблиця спряженості підраховує випадки одночасно за двома змінними, наприклад лікування (рядки) і результат (стовпці). H₀: дві змінні незалежні.

Якщо вони незалежні, очікувана кількість у кожній клітинці випливає із загальних сум:

E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума

Потім χ² обчислюється за тією самою формулою, що й раніше, за всіма клітинками таблиці, без підсумків.

df = (r − 1)(c − 1)

Тут r — кількість рядків, а c — кількість стовпців, без урахування підсумків. Таблиця 2×2 має df = 1.

Самоперевірка У таблиці із загальною сумою 120 клітинка має суму рядка 40 і суму стовпця 30. Яка її очікувана кількість?
  1. 10
  2. 1200
  3. 3
  4. 70

Відповідь: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 забуває поділити на загальну суму.

4Метод крок за кроком

  1. Сформулюйте H₀: заявлені частки правильні (критерій згоди) або змінні незалежні.
  2. Обчисліть кожну очікувану кількість: E = n · p або сума рядка × сума стовпця / загальна сума.
  3. Для кожної клітинки обчисліть (O − E)²/E. Додайте їх усі, щоб отримати χ².
  4. Знайдіть df: k − 1 для критерію згоди, (r − 1)(c − 1) для незалежності.
  5. Знайдіть критичне значення для цього df при α = 0,05.
  6. Відхиліть H₀, якщо χ² більше за критичне значення. Сформулюйте висновок словами.

Перевірка: очікувані кількості в кожному рядку й стовпці дають ті самі суми, що й спостережені.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

У дослідженні 120 пацієнтів отримують новий препарат (рядок A), а 100 — плацебо (рядок B). Стовпець 1 рахує пацієнтів, у яких настало покращення, стовпець 2 — тих, у кого ні. Перевірте при α = 0,05, чи результат не залежить від лікування.

1

Прочитайте таблицю

12ΣABΣ56641205446100110110220

Суми рядків: 120 і 100. Суми стовпців: 110 і 110. Загальна сума: 220.

2

Очікувані частоти

EA1 = 120 · 110 / 220 = 60, EA2 = 60
EB1 = 100 · 110 / 220 = 50, EB2 = 50
12ΣABΣ56(60)64(60)12054(50)46(50)100110110220
3

Статистика

χ² = (56 − 60)²/60 + (64 − 60)²/60 + (54 − 50)²/50 + (46 − 50)²/50
χ² = 0,267 + 0,267 + 0,32 + 0,32 = 1,173
4

Ступені вільності та критичне значення

df = (2 − 1)(2 − 1) = 1, χ²crit = 3,841
5

Вирішіть

3,8415%1,17χ²

1,173 менше за 3,841, тож χ² не потрапляє в критичну область. H₀ не відхиляємо.

Відповідь

χ² ≈ 1,17 < 3,841: немає значущих доказів, що покращення залежить від лікування.

6Типові помилки

  • Використовувати відсотки чи частки замість кількостей. χ² працює лише з кількостями.
  • Ділити на O замість E.
  • Включати в суму рядок чи стовпець підсумків.
  • Брати хибне df: для таблиці це (r − 1)(c − 1), а не кількість клітинок мінус один.
  • Відхиляти H₀, коли χ² менше за критичне значення. Лише велике χ² свідчить проти H₀.
Самоперевірка Критерій незалежності використовує таблицю з 3 рядками й 4 стовпцями (без підсумків). Скільки в неї ступенів вільності?
  1. 11
  2. 12
  3. 5
  4. 6

Відповідь: 6. df = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. 11 — це кількість клітинок мінус один, тобто правило для критерію згоди, помилково застосоване до таблиці.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: критерій згоди. Кількості граней кубика чи кольорів цукерок порівнюються із заявленими частками; обчисліть χ².
  • Середньо: критерій незалежності. Обчисліть очікувані кількості із сум, потім χ², без поправки на неперервність.
  • Складно: рішення за критичним значенням. Знайдіть df і критичне значення χ²crit при α = 0,05 за таблицею.

Швидка перевірка: χ² ніколи не буває від’ємним і дорівнює 0 лише тоді, коли кожна спостережена кількість дорівнює очікуваній.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
грань123456спостережувані534862505433

Гральний кубик кидають 300 разів, щоб перевірити, чи він правильний. Показано кількість випадань кожної грані. Обчисліть статистику критерію узгодженості хі-квадрат χ² для H₀: кожна грань має ймовірність 1/6.

n = 300k = 6

Знайти: χ²

Показати підказки
  1. Очікувані частоти за H₀: E = n·p для кожної категорії.
  2. E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
  3. Додайте (O − E)²/E по всіх категоріях.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

E = 300·p = 50, 50, 50, 50, 50, 50

Статистика хі-квадрат

χ² = (53 − 50)²/50 + (48 − 50)²/50 + (62 − 50)²/50 + (50 − 50)²/50 + (54 − 50)²/50 + (33 − 50)²/50
χ² = 9,24

Відповідь

χ² = 9,24

df = 5. При α = 0,05 критичне значення 11,070, тож H₀ не відхиляється.

Приклад 2Середня
кашельбез кашлюРазомкурці334780некурці3961100Разом72108180

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1802 × 2

Знайти: χ²

Показати підказки
  1. Очікувана частота кожної клітинки: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума.
  2. E = 32, 48 | 40, 60.
  3. Додайте (O − E)²/E по всіх 4 клітинках.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48
некурці: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60

Статистика хі-квадрат

χ² = (33 − 32)²/32 + (47 − 48)²/48 + (39 − 40)²/40 + (61 − 60)²/60
χ² = 0,09375

Відповідь

χ² = 0,09375

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

Приклад 3Складна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 6 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?

2 × 6

Знайти: df

Показати підказки
  1. Ступені вільності показують, скільки клітинок можуть вільно змінюватися, коли підсумки (і всі оцінені параметри) зафіксовано.
  2. Узгодженість: k − 1, мінус один за кожен оцінений параметр.
  3. Незалежність: (r − 1)(c − 1).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Відповідь

df = 5

Запитання й відповіді

Критерії хі-квадрат: що це?

Критерій хі-квадрат (χ², «хі-квадрат») порівнює кількості. Він запитує, чи відрізняються кількості, які ви спостерігаєте, від очікуваних більше, ніж випадково.

Приклад: ви кидаєте кубик 60 разів. Якщо він чесний, кожна грань має випасти приблизно 60 · 1/6 = 10 разів. Це очікувані кількості E.

Критерії хі-квадрат: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Критерії хі-квадрат: які помилки найпоширеніші?
  • Діліть кожну квадратну різницю на очікувану частоту E, а не на спостережувану O.
  • Діліть кожну квадратну різницю на її власну очікувану частоту E перед додаванням, а не загальну суму на n.
  • Очікувані частоти визначаються маргінальними сумами, а не рівномірним розподілом загальної суми: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума.
Критерії хі-квадрат: що ви тренуєте?
  • Легка: узгодженість
  • Середня: перевірка незалежності
  • Складна: рішення за критичним значенням

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Калькулятори

Калькулятор критерію узгодженості хі-квадрат

Курси з цією темою

Методи досліджень і статистика в психологіїСтатистика 2: Статистичне висновуванняТренувальні задачі AP Statistics

Інші теми: Математика і статистика

ГраниціПохідніОптимізаціяІнтегралиПослідовності та рядиДиференціальне числення функцій багатьох зміннихДиференціальні рівнянняКомплексні числаЧисельні методиМатриці та визначникиВектори: скалярний і векторний добуткиЛогіка висловлювань і доведенняМножини, відношення та функціїТеорія графівТеорія чисел і арифметика за модулемІмовірністьОписова статистикаНормальний розподілДовірчі інтервалиПеревірка гіпотез і довірчі інтервалиЛінійна регресія та кореляція

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Критерії хі-квадрат» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Критерії хі-квадратТренуйтеся зараз: Критерії хі-квадратБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.