Довірчі інтервали: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: довірчий інтервал · інтервальна оцінка

Безкоштовні задачі з теми Довірчі інтервали з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: z-інтервал, t-інтервал, обсяг вибірки.

Безкоштовна задачаЛегка
LU = ?p̂ = 55/100E90%

В опитуванні 100 випадково вибраних виборців 55 підтримують пропозицію. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для частки прихильників.

n = 100x = 5590%
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Довірчі інтервалиТренуйтеся зараз: Довірчі інтервалиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкаz-інтервал
  2. Середняt-інтервал
  3. Складнаобсяг вибірки

Як розв’язувати задачі на тему «Довірчі інтервали»

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Типові помилки

  • Забувають поділити на √n.
  • Використовують z, коли вибірка мала, а σ невідоме.
  • Округлюють обсяг вибірки вниз замість угору.

Основні формули

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Вивчайте тему «Довірчі інтервали» з нуля

Перед цим: Нормальний розподіл

1Що таке довірчий інтервал

Ви хочете знайти середнє μ усієї генеральної сукупності, наприклад середній строк служби всіх батарей, які випускає завод. Перевірити їх усі неможливо, тому ви перевіряєте вибірку з n батарей.

Вибіркове середнє x̄ — ваша найкраща оцінка μ, але інша вибірка дала б трохи інше x̄. Одне число приховує цю невизначеність.

Довірчий інтервал натомість дає діапазон: від x̄ мінус похибка до x̄ плюс похибка.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

95% довірчий інтервал будується методом, який накриває справжнє μ у 95% усіх вибірок. Вищий рівень довіри дає ширший інтервал.

Самоперевірка Ви обчислюєте 90% і 99% довірчі інтервали за тією самою вибіркою. Який із них ширший?
  1. 90% інтервал
  2. 99% інтервал
  3. Вони однаково широкі
  4. Залежить від вибіркового середнього

Відповідь: 99% інтервал. Щоб бути впевненішими, що інтервал містить μ, він має бути ширшим. Критичне значення для 99%, 2,576, більше за значення для 90%, 1,645.

2Інтервал із z

Коли стандартне відхилення генеральної сукупності σ відоме, інтервал такий:

x̄ ± z · σ / √n

Член σ/√n — це стандартна похибка: наскільки x̄ змінюється від вибірки до вибірки. Більша вибірка дає меншу стандартну похибку.

Критичне значення z залежить від рівня довіри. Запам’ятайте ці три:

  • 90%: z = 1,645
  • 95%: z = 1,96
  • 99%: z = 2,576

Гранична похибка — це E = z · σ/√n. Інтервал іде від x̄ − E (нижня межа) до x̄ + E (верхня межа).

Самоперевірка Вибірка з 64 значень має середнє 55. Стандартне відхилення генеральної сукупності σ дорівнює 12. Яка верхня межа 95% довірчого інтервалу?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Відповідь: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, тож верхня межа дорівнює 57,94. Якщо забути √n, вийде 78,52, а 57,47 використовує значення для 90%, 1,645.

3Інтервал із t і обсяг вибірки

Зазвичай σ невідоме. Тоді використовують вибіркове стандартне відхилення s, а критичне значення береться з t-розподілу:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Число ступенів вільності df дорівнює n − 1. Значення t більше за z, тож інтервал ширший: він враховує додаткову невизначеність s. Для великих n значення t наближається до z.

При 95%: t = 2,262 для df = 9, t = 2,131 для df = 15 і t = 2,045 для df = 29.

Іноді треба спланувати обсяг вибірки: яким має бути n, щоб гранична похибка була не більшою за E? Розв’яжіть E = zσ/√n відносно n:

n = (z · σ / E)²

Завжди округлюйте вгору до наступного цілого числа. Округлення вниз дало б похибку трохи більшу за E.

Самоперевірка σ = 13. Яким має бути обсяг вибірки для 95% інтервалу з граничною похибкою не більше 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Відповідь: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, округлюємо вгору до 163. Округлення вниз до 162 дає похибку трохи більшу за 2, а 13 забуває піднести до квадрата.

4Метод крок за кроком

  1. Запишіть n, x̄ та σ або s.
  2. Виберіть z (σ відоме) або t з df = n − 1 (відоме лише s).
  3. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  4. Обчисліть стандартну похибку: σ/√n або s/√n.
  5. Гранична похибка: E = критичне значення × стандартна похибка.
  6. Інтервал: від x̄ − E до x̄ + E. Дайте ту межу, про яку питають.

Для запитання про обсяг вибірки: n = (zσ/E)², округлене вгору.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Вибірка з 16 елементів має середнє 40 і стандартне відхилення s = 6. Генеральна сукупність приблизно нормальна. Знайдіть 95% довірчий інтервал для середнього.

1

z чи t?

Відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, а не σ. Тож використовуємо t з df = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Стандартна похибка

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Похибка оцінки

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

Інтервал

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Перевірте відповідь

З z = 1,96 похибка була б 2,94. Інтервал із t трохи ширший, як і має бути, коли σ невідоме.

Відповідь

95% довірчий інтервал дорівнює [36,80, 43,20].

6Типові помилки

  • Забувають поділити на √n.
  • Використовують z, коли вибірка мала, а σ невідоме.
  • Брати df = n замість df = n − 1 для t.
  • Брати значення 1,645 для 90% у 95% інтервалі.
  • Округлюють обсяг вибірки вниз замість угору.
Самоперевірка Вибірка з n = 10 має стандартне відхилення s = 5. σ невідоме. Яке критичне значення використовувати для 95% інтервалу?
  1. t = 2,228 (df = 10)
  2. t = 2,262 (df = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Відповідь: t = 2,262 (df = 9). σ невідоме, тож використовуємо t з df = n − 1 = 9. Використання z ігнорує невизначеність s, а df = 10 забуває відняти одиницю.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: інтервал із z. σ відоме; знайдіть нижню або верхню межу.
  • Середньо: інтервал із t. Дано лише s; значення t з n − 1 ступенями вільності задано або береться з таблиці.
  • Складно: обсяг вибірки. Знайдіть найменше n для заданої граничної похибки й округліть вгору.

Швидка перевірка: вибіркове середнє завжди лежить рівно посередині інтервалу.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Вибірка з 200 вимірювань має середнє 174,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 30. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Знайти: верхня межа

Показати підказки
  1. σ відоме, тож використовуйте критичне значення z.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Похибка оцінки

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Інтервал

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Відповідь

верхня межа = 178
Приклад 2Середня
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 7,8. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 100 спостережень?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Знайти: E₂

Показати підказки
  1. E = z·σ/√n, а σ не змінюється.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Нова похибка

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Відповідь

E₂ = 5,515
Приклад 3Складна
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 1,2 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Знайти: σ (µm)

Показати підказки
  1. Для нормальної генеральної сукупності (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи.
  2. Інтервал для σ²: від (n − 1)s²/34,17 до (n − 1)s²/9,591. Добудьте квадратні корені, щоб отримати σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Межі для σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Межа для σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Відповідь

σ = 1,733 µm

95 % інтервал для σ: [0,9181, 1,733] µm.

Запитання й відповіді

Довірчі інтервали: що це?

Ви хочете знайти середнє μ усієї генеральної сукупності, наприклад середній строк служби всіх батарей, які випускає завод. Перевірити їх усі неможливо, тому ви перевіряєте вибірку з n батарей.

Вибіркове середнє x̄ — ваша найкраща оцінка μ, але інша вибірка дала б трохи інше x̄. Одне число приховує цю невизначеність.

Довірчі інтервали: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.
Довірчі інтервали: які помилки найпоширеніші?
  • Забувають поділити на √n.
  • Використовують z, коли вибірка мала, а σ невідоме.
  • Округлюють обсяг вибірки вниз замість угору.
Довірчі інтервали: що ви тренуєте?
  • Легка: z-інтервал
  • Середня: t-інтервал
  • Складна: обсяг вибірки

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Нормальний розподіл

Далі

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Калькулятори

Калькулятор довірчого інтервалуКалькулятор обсягу вибірки

Курси з цією темою

Методи досліджень і статистика в психологіїОснови статистикиСтатистика 2: Статистичне висновуванняДоказова практикаТренувальні задачі AP StatisticsТренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I

Інші теми: Математика і статистика

ГраниціПохідніОптимізаціяІнтегралиПослідовності та рядиДиференціальне числення функцій багатьох зміннихДиференціальні рівнянняКомплексні числаЧисельні методиМатриці та визначникиВектори: скалярний і векторний добуткиЛогіка висловлювань і доведенняМножини, відношення та функціїТеорія графівТеорія чисел і арифметика за модулемІмовірністьОписова статистикаНормальний розподілПеревірка гіпотез і довірчі інтервалиЛінійна регресія та кореляціяКритерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Довірчі інтервали» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Довірчі інтервалиТренуйтеся зараз: Довірчі інтервалиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.