Границі: задачі з покроковими розв’язками

Q: Границі: що це?

Границя описує значення, до якого функція наближається, коли x наближається до певного числа. Не має значення, що відбувається саме в цьому числі. Візьмемо f(x) = (x² − 1)/(x − 1). За x = 1 ви отримуєте 0/0, що не має значення. Але можна спробувати числа, близькі до 1.

Q: Границі: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Q: Границі: що ви тренуєте?

Легка: пряма підстановка й розкладання на множники Середня: границі на нескінченності Складна: Правило Лопіталя Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Інші назви: обчислення границь · правило Лопіталя · чудові границі

Безкоштовні задачі з теми Границі з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: пряма підстановка й розкладання на множники, границі на нескінченності, Правило Лопіталя.

Безкоштовна задачаЛегка

Знайдіть границю L = lim_x→9 (√x − 3)/(x − 9).

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Границі Тренуйтеся зараз: ГраниціБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легкапряма підстановка й розкладання на множники
Середняграниці на нескінченності
СкладнаПравило Лопіталя

Основні формули

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Вивчайте тему «Границі» з нуля

1Що таке границя

Границя описує значення, до якого функція наближається, коли x наближається до певного числа. Не має значення, що відбувається саме в цьому числі.

Візьмемо f(x) = (x² − 1)/(x − 1). За x = 1 ви отримуєте 0/0, що не має значення. Але можна спробувати числа, близькі до 1.

x = 0,9 дає f = 1,9.
x = 0,99 дає f = 1,99.
x = 1,01 дає f = 2,01.

Значення дедалі ближчі до 2. Пишемо:

lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2

Графік — пряма лінія з однією відсутньою точкою, діркою в (1, 2). Границя — це висота дірки.

Самоперевірка Функція g дає g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 і g(3,01) = 6,01. Вона не визначена за x = 3. Чому дорівнює границя при x → 3?

3
5,99
6
Не існує, бо g(3) не визначена

Відповідь: 6. Значення наближаються до 6 з обох боків, тож границя дорівнює 6. Границя дивиться лише на значення поблизу x = 3, ніколи на саме x = 3.

2Підстановка, 0/0 і розкладання на множники

Завжди спершу пробуйте пряму підстановку: підставте число. Якщо ви отримали звичайне число, це і є границя.

lim_x→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

Якщо ви отримали 0/0, ви ще не закінчили. 0/0 називають невизначеністю: це сигнал спростити, а не відповідь.

Зазвичай чисельник і знаменник мають спільний множник, що дорівнює нулю в цій точці. Розкладіть обидва на множники, скоротіть спільний множник, потім підставте знову.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

Отже, границя при x → 3 дорівнює 3 + 3 = 6. Корисні шаблони розкладання:

x² − a² = (x − a)(x + a)
x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
Квадратний тричлен, як-от x² − x − 30, розкладається як (x − 6)(x + 5): знайдіть два числа, добуток яких −30, а сума −1.

З квадратним коренем помножте чисельник і знаменник на спряжений вираз: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

Самоперевірка Чому дорівнює lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2)?

0
2
4
Не існує, бо виходить 0/0

Відповідь: 4. Підстановка дає 0/0, тож розкладіть на множники: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, що дорівнює 4 за x = 2. Зупинка на 0/0 — це помилка, яка стоїть за «не існує».

3Границі на нескінченності та правило Лопіталя

x → ∞ означає, що x зростає без межі. Для дробу многочленів, коли x величезний, важать лише найвищі степені.

Поділіть кожен доданок на найвищий степінь x у знаменнику. Доданки на кшталт 4/x і 7/x² прямують до 0.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2

Однаковий найвищий степінь угорі й унизу: границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.
Вищий степінь у знаменнику: границя дорівнює 0.
Вищий степінь у чисельнику: дріб зростає без межі, тож скінченної границі немає.

Для √(x² + 6x) − x помножте на спряжений вираз. Ви отримаєте 6x/(√(x² + 6x) + x), що прямує до 6/(1 + 1) = 3.

Правило Лопіталя: якщо підстановка дає 0/0 або ∞/∞, можна замінити чисельник і знаменник їхніми похідними, кожен окремо.

lim_x→0 (eˣ − 1)/x = lim_x→0 eˣ/1 = 1

Якщо ви знову отримали 0/0, застосуйте правило ще раз. Тригонометричні границі завжди використовують x у радіанах.

Самоперевірка Чому дорівнює lim_x→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)?

Відповідь: 2. Найвищі степені однакові (x²), тож границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів: 4/2 = 2. ½ виходить від ділення навпаки.

4Метод крок за кроком

Підставте число. Звичайне число — це відповідь.
Якщо ви отримали 0/0, розкладіть чисельник і знаменник на множники або помножте на спряжений вираз, якщо є корінь.
Скоротіть спільний множник і підставте знову.
Якщо x → ∞, поділіть кожен доданок на найвищий степінь x і нехай доданки на кшталт a/x прямують до 0.
Якщо розкладання не спрацьовує (eˣ, sin, cos, ln), застосуйте правило Лопіталя до форми 0/0 або ∞/∞.
Перевірте числом, дуже близьким до точки, наприклад x = 1,001.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Знайдіть L = lim_x→−2 (x³ + 8)/(x + 2).

Спробуйте підстановку

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

Це невизначеність 0/0, тож спершу потрібно спростити.

Розкладіть чисельник

8 = 2³, тож чисельник — сума кубів з a = 2.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)

Скоротіть спільний множник

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

Це дозволено, бо x лише наближається до −2, тож x + 2 ніколи не дорівнює рівно 0.

Підставте знову

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Перевірте відповідь

Спробуйте x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, що близько до 12.

Графік — парабола x² − 2x + 4 з діркою в (−2, 12).

Відповідь

L = 12

6Типові помилки

Записувати 0/0 як відповідь або казати, що границі не існує. 0/0 означає: спершу спростіть.
Застосовувати правило Лопіталя, коли підстановка не дає 0/0 чи ∞/∞.
Використовувати правило частки в правилі Лопіталя. Диференціюйте чисельник і знаменник окремо.
На нескінченності порівнювати перші записані доданки замість найвищих степенів.
Використовувати градуси замість радіан у границях із sin або cos.

Самоперевірка Чому дорівнює lim_x→1 (x² + 1)/(x + 1)?

0
1
2
Не існує

Відповідь: 1. Підстановка дає 2/2 = 1, звичайне число, тож це і є границя. Застосовувати тут правило Лопіталя (2x/1 = 2) неправильно, бо форма не була 0/0.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

Легкий: пряма підстановка й розкладання на множники. Підстановка дає 0/0, потім ви розкладаєте й скорочуєте, як у прикладі.
Середній: границі на нескінченності. Поділіть на найвищий степінь або використайте спряжений вираз для кореня, як-от √(x² + 4x) − x.
Складний: правило Лопіталя, наприклад (eˣ − 1 − x)/x² або (1 − cos 3x)/x² при x → 0. Можливо, правило доведеться застосувати двічі.

Швидка перевірка: підставте калькулятором число, дуже близьке до точки. Результат має бути близьким до вашої відповіді.

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Знайдіть границю L = lim_x→1 (x⁴ − 1)/(x − 1).

f(x) = (x⁴ − 1)/(x − 1)x → 1

Знайти: L

Показати підказки

Підстановка дає 0/0. Розкладіть чисельник на множники.
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
x⁴ − 1 = (x − 1)(x³ + x² + x + 1).

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Спробуйте пряму підстановку

чисельник → 0 і знаменник → 0, тож маємо невизначеність 0/0.

Розкладіть на множники й скоротіть

(x⁴ − 1)/(x − 1) = x³ + x² + x + 1

Підставте

L = 1·1³ + 1·1² + 1·1 + 1·1 = 4

Відповідь

L = 4

Це похідна xⁿ у точці x = a: n·aⁿ⁻¹.

Приклад 2Середня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x. Дайте десяткове значення.

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

Знайти: L

Показати підказки

Маємо невизначеність 1^∞. Запишіть L = e^(ln L) і знайдіть ln L.
ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x).
Для малих u ln(1 + u) ≈ u. Тут u = 1/x.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Візьміть логарифм

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

Обчисліть

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, тож x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Позбудьтеся логарифма

L = e¹ = 2,718

Відповідь

L = 2,718

Приклад 3Складна

Знайдіть границю L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

Знайти: L

Показати підказки

При x = 0: ln 1 = 0 і sin 0 = 0, тож маємо невизначеність 0/0.
(ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
Підставте x = 0 у f′/g′.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Правило Лопіталя

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Підставте x = 0

L = 2/3 = 0,6667

Відповідь

L = 0,6667

Запитання й відповіді

Границі: що це?

Візьмемо f(x) = (x² − 1)/(x − 1). За x = 1 ви отримуєте 0/0, що не має значення. Але можна спробувати числа, близькі до 1.

Границі: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Границі: які помилки найпоширеніші?

Збережіть кожен доданок другого множника: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹), і при x = a всі n доданків однакові.
Вираз 1^∞ — це невизначеність, а не 1. Спершу візьміть натуральний логарифм.
Похідну чисельника залишайте в чисельнику: lim f/g = lim f′/g′.

Границі: що ви тренуєте?

Легка: пряма підстановка й розкладання на множники
Середня: границі на нескінченності
Складна: Правило Лопіталя

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Далі

Похідні Послідовності та ряди

Курси з цією темою

Математичний аналіз 1 Вища математика Тренувальні задачі AP Calculus

Інші теми: Математика і статистика

Похідні Оптимізація Інтеграли Послідовності та ряди Диференціальне числення функцій багатьох змінних Диференціальні рівняння Комплексні числа Чисельні методи Матриці та визначники Вектори: скалярний і векторний добутки Логіка висловлювань і доведення Множини, відношення та функції Теорія графів Теорія чисел і арифметика за модулем Імовірність Описова статистика Нормальний розподіл Довірчі інтервали Перевірка гіпотез і довірчі інтервали Лінійна регресія та кореляція Критерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Границі» з відповідями

Тренуйтеся безкоштовно: Границі Тренуйтеся зараз: ГраниціБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.