Диференціальне числення функцій багатьох змінних: задачі з покроковими розв’язками

Q: Диференціальне числення функцій багатьох змінних: що це?

Функція двох змінних, z = f(x, y), — це поверхня над площиною xy. На карті її зображують лініями рівня, лініями, на яких f має те саме значення. Приклад: f(x, y) = x²y + 3y². Для fx трактуйте y як число, а для fy — x як число:

Q: Диференціальне числення функцій багатьох змінних: що ви тренуєте?

Легка: частинні похідні та подвійні інтеграли Середня: градієнт, дотична площина та правило ланцюга Складна: критичні точки та інтеграли по областях Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Безкоштовні задачі з теми Диференціальне числення функцій багатьох змінних з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: частинні похідні та подвійні інтеграли, градієнт, дотична площина та правило ланцюга, критичні точки та інтеграли по областях.

Безкоштовна задачаЛегка

Для f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy знайдіть частинну похідну ∂f/∂x у точці (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)

Наступна задача →

Тренуйтеся безкоштовно: Диференціальне числення функцій багатьох змінних Тренуйтеся зараз: Диференціальне числення функцій багатьох зміннихБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

Легкачастинні похідні та подвійні інтеграли
Середняградієнт, дотична площина та правило ланцюга
Складнакритичні точки та інтеграли по областях

Як розв’язувати задачі на тему «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»

Для частинної похідної трактуйте іншу змінну як сталу й користуйтеся правилами для однієї змінної.
Для задач про градієнт обчисліть ∇f = (f_x, f_y) у точці; використовуйте |∇f| для найкрутішого нахилу та ∇f·u з одиничним вектором u для похідної за напрямом.
Для екстремумів розв’яжіть f_x = 0 і f_y = 0 разом, а потім класифікуйте кожну точку за D = f_xx·f_yy − f_xy².
Для подвійного інтеграла накресліть область, оберіть порядок (або полярні координати для кругів), щоб внутрішні межі були обмежувальними кривими, і спершу інтегруйте всередині.

Типові помилки

Диференціювати змінну, яку мали утримувати сталою.
Забути нормувати вектор напрямку.
Писати D = f_xx·f_yy + f_xy² або називати точку з D < 0 екстремумом.
Використовувати сталі внутрішні межі для області, обмеженої кривими.
Пропускати множник r у dA = r dr dθ.

Основні формули

Частинні похідні: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Градієнт: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Похідна за напрямом: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Дотична площина: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Ланцюгове правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Тест другої похідної: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Подвійний інтеграл: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Полярні координати: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Вивчайте тему «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з нуля

Перед цим: Похідні, Інтеграли

1Частинні похідні

Функція двох змінних, z = f(x, y), — це поверхня над площиною xy. На карті її зображують лініями рівня, лініями, на яких f має те саме значення.

Частинна похідна вимірює нахил в одному напрямку. Для ∂f/∂x (також f_x) ви утримуєте y сталим і диференціюєте за x за звичайними правилами.

Приклад: f(x, y) = x²y + 3y². Для f_x трактуйте y як число, а для f_y — x як число:

f_x = 2xy f_y = x² + 6y

У точці (1, 2) це дає f_x = 4 і f_y = 1 + 12 = 13.

Повторне диференціювання дає другі частинні похідні f_xx, f_yy і f_xy. Порядок мішаної похідної не має значення: f_xy = f_yx. Тут f_xy = 2x.

Самоперевірка Чому дорівнює ∂f/∂y для f(x, y) = x³y²?

2x³y
3x²y²
6x²y
x³y²

Відповідь: 2x³y. Утримуйте x сталим: x³ — сталий множник, а y² дає 2y, тож f_y = 2x³y. 3x²y² — це ∂f/∂x.

2Градієнт і похідна за напрямом

Градієнт збирає обидві частинні похідні: ∇f = (f_x, f_y). Він вказує напрямок, у якому f зростає найшвидше, під прямим кутом до лінії рівня.

Сам найкрутіший нахил — це довжина |∇f| = √(f_x² + f_y²).

Нахил у будь-якому іншому напрямку v — це похідна за напрямом. Спершу зробіть v одиничним вектором u = v/|v|, а потім візьміть скалярний добуток:

D_uf = ∇f·u

Для f = x²y + 3y² у (1, 2): ∇f = (4, 13). У напрямку v = (3, 4) маємо u = (0,6; 0,8), тож D_uf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Самоперевірка У точці ∇f = (3, 4). Яка там найбільша швидкість зростання f?

Відповідь: 5. Це |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Додавання складових дає 7, а якщо забути квадратний корінь, вийде 25.

3Дотична площина і правило ланцюга

Поблизу точки (a, b) поверхня майже пласка. Дотична площина має вигляд

z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)

Вона дає лінійне наближення f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + f_xΔx + f_yΔy.

Приклад: f = x²y + 3y² має f(1, 2) = 14, тож поблизу (1, 2): f(1,1; 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. Точне значення — 13,129.

Коли x і y обидва залежать від t, правило ланцюга додає два шляхи: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

4Критичні точки

У максимумі, мінімумі чи сідловій точці поверхня пласка: f_x = 0 і f_y = 0. Такі точки — критичні точки.

Тест другої похідної використовує D = f_xxf_yy − f_xy² у точці:

D > 0 і f_xx > 0: локальний мінімум.
D > 0 і f_xx < 0: локальний максимум.
D < 0: сідлова точка, вгору в одному напрямку й униз в іншому.
D = 0: тест нічого не вирішує.

Розв’язаний приклад

Знайдіть і класифікуйте критичні точки f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

Прирівняйте обидві частинні похідні до нуля

f_x = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 f_y = 2y − 4 = 0 → y = 2

Критичні точки: (1, 2) і (−1, 2).

Другі похідні

f_xx = 6x, f_yy = 2, f_xy = 0

Перевірте (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 і f_xx = 6 > 0: локальний мінімум, із f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

Перевірте (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: сідлова точка.

Відповідь

Локальний мінімум у (1, 2) зі значенням f = −6; сідлова точка в (−1, 2).

5Подвійні інтеграли

Подвійний інтеграл ∬_R f dA додає f по області R; для f = 1 це площа R. Обчислюйте його як два одинарні інтеграли, спершу внутрішній.

По прямокутнику межі — числа: ∫₀²∫₀¹ (x + 2y) dy dx. Внутрішній інтеграл дає x + 1, а ∫₀² (x + 1) dx = 4.

По довільній області внутрішні межі — це криві, що її обмежують. Для області між y = x² і y = 2x змінна y іде від x² до 2x, а x — від 0 до 2.

Площа = ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Для кругів і секторів використовуйте полярні координати: x² + y² = r² і dA = r dr dθ. По кругу r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫₀^2π∫₀² r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Самоперевірка Чим стає dA в полярних координатах?

dr dθ
r dr dθ
r² dr dθ
θ dr dθ

Відповідь: r dr dθ. Малий полярний елемент має ширину Δr і довжину r·Δθ, тож dA = r dr dθ. Пропуск множника r — найпоширеніша помилка.

6Типові помилки та екзаменаційні запитання

Диференціювати також «сталу» змінну в частинній похідній.
Використовувати v замість одиничного вектора u у похідній за напрямом.
Писати D = f_xxf_yy + f_xy² або класифікувати точку з D < 0 як екстремум.
Використовувати числа як внутрішні межі, коли область обмежено кривими.
Забути множник r у полярних координатах.

Легкі: частинні похідні в точці та інтеграли по прямокутниках. Середні: градієнт, похідна за напрямом, дотична площина та правило ланцюга. Складні: класифікація критичних точок та інтеграли по криволінійних областях, у полярних координатах або зі зміною порядку.

Вивчайте крок за кроком у застосунку Вивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка

Для f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy знайдіть частинну похідну ∂f/∂x у точці (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Знайти: f_x(−1, −3)

Показати підказки

Трактуйте y як стале число й диференціюйте за x.
∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
Підставте x = −1 і y = −3.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Частинні похідні: ∂f/∂x — це звичайна похідна за x, коли y утримується сталою (трактуйте y як число), а ∂f/∂y — навпаки. Правила (степеня, добутку, складної функції) ті самі, що й для однієї змінної. Мішані другі похідні дають той самий результат у будь-якому порядку: f_xy = f_yx. Подвійний інтеграл по прямокутнику обчислюють як два одинарні інтеграли, спершу внутрішній: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Продиференціюйте

y утримується сталим.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Підставте

f_x(−1, −3) = −4

Відповідь

f_x(−1, −3) = −4

Приклад 2Середня

z = 2x²e^3y, де x = −t − 2 і y = t² + 2. Скористайтеся правилом ланцюга, щоб знайти dz/dt за t = 0.

z = 2x²e^3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Знайти: dz/dt

Показати підказки

dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.
За t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
f_x = 4xe^3y, f_y = 6x²e^3y

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Градієнт: ∇f = (f_x, f_y) вказує напрямок найшвидшого зростання, а |∇f| — найбільша швидкість зміни. Похідна за напрямом v дорівнює D_uf = ∇f·u з одиничним вектором u = v/|v|. Дотична площина в точці (a, b): z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); вона дає лінійне наближення f поблизу цієї точки. Правило ланцюга: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Точка і швидкості

x(0) = −2, y(0) = 2

dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Частинні похідні

f_x = 4xe^3y = −3227

f_y = 6x²e^3y = 9682

Ланцюгове правило

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Відповідь

dz/dt = 3227

Приклад 3Складна

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy має критичну точку в (1, 1). Обчисліть там дискримінант D = f_xxf_yy − f_xy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Знайти: D

Показати підказки

Знайдіть три другі похідні f_xx, f_yy і f_xy.
У точці: f_xx = 6, f_yy = 6, f_xy = −3.
D = f_xxf_yy − f_xy².

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Критичні точки та подвійні інтеграли: критична точка має f_x = f_y = 0. Тест другої похідної з D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 і f_xx > 0 — локальний мінімум, D > 0 і f_xx < 0 — локальний максимум, D < 0 — сідлова точка, а D = 0 нічого не вирішує. Для подвійного інтеграла по довільній області нехай внутрішні межі будуть кривими, що обмежують область; для кругів і секторів використовуйте полярні координати, x = r cos θ, y = r sin θ і dA = r dr dθ (не забудьте множник r).

Другі похідні

f_xx = 6, f_yy = 6, f_xy = −3

Дискримінант

D = 6·6 − (−3)² = 27

→ локальний мінімум

Відповідь

D = 27

Запитання й відповіді

Диференціальне числення функцій багатьох змінних: що це?

Приклад: f(x, y) = x²y + 3y². Для f_x трактуйте y як число, а для f_y — x як число:

Диференціальне числення функцій багатьох змінних: як розв’язувати задачі крок за кроком?

Для частинної похідної трактуйте іншу змінну як сталу й користуйтеся правилами для однієї змінної.
Для задач про градієнт обчисліть ∇f = (f_x, f_y) у точці; використовуйте |∇f| для найкрутішого нахилу та ∇f·u з одиничним вектором u для похідної за напрямом.
Для екстремумів розв’яжіть f_x = 0 і f_y = 0 разом, а потім класифікуйте кожну точку за D = f_xx·f_yy − f_xy².
Для подвійного інтеграла накресліть область, оберіть порядок (або полярні координати для кругів), щоб внутрішні межі були обмежувальними кривими, і спершу інтегруйте всередині.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних: які помилки найпоширеніші?

Диференціювати змінну, яку мали утримувати сталою.
Забути нормувати вектор напрямку.
Писати D = f_xx·f_yy + f_xy² або називати точку з D < 0 екстремумом.
Використовувати сталі внутрішні межі для області, обмеженої кривими.
Пропускати множник r у dA = r dr dθ.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних: що ви тренуєте?

Легка: частинні похідні та подвійні інтеграли
Середня: градієнт, дотична площина та правило ланцюга
Складна: критичні точки та інтеграли по областях

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Похідні Інтеграли

Курси з цією темою

Інженерна математика 2 Математичний аналіз 2

Інші теми: Математика і статистика

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями