Перевірка гіпотез і довірчі інтервали: задачі з покроковими розв’язками

Інші назви: перевірка статистичних гіпотез · t-критерій Стьюдента · p-значення

Безкоштовні задачі з теми Перевірка гіпотез і довірчі інтервали з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: z-статистика, t-статистика, довірчі інтервали.

Безкоштовна задачаЛегка
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Постачальник стверджує, що середня розривна міцність кабелю 50 kN; ви підозрюєте, що вона вища. Стандартне відхилення відоме й дорівнює 8 kN. Ви візьмете вибірку з 25 кабелів і перевірите H₀: μ = 50 kN проти H₁: μ > 50 kN на рівні α = 0,05. Вище від якого вибіркового середнього x̄c ви відхилите H₀?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
Наступна задача →
Тренуйтеся безкоштовно: Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиТренуйтеся зараз: Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Що ви тренуєте

  1. Легкаz-статистика
  2. Середняt-статистика
  3. Складнадовірчі інтервали

Як розв’язувати задачі на тему «Перевірка гіпотез і довірчі інтервали»

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Типові помилки

  • Використовують однобічне критичне значення для двобічного критерію.
  • Стверджують, що H₀ доведено, коли її не відхилено.
  • Забувають √n у стандартній похибці.

Основні формули

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Вивчайте тему «Перевірка гіпотез і довірчі інтервали» з нуля

Перед цим: Довірчі інтервали

1Ідея перевірки

Автомат має наливати в пляшки в середньому по 500 mL. Вибірка пляшок має середнє 496 mL. Автомат помиляється, чи це просто випадковість?

Перевірка гіпотези відповідає на це запитання числами. Ви починаєте з двох тверджень:

  • Нульова гіпотеза H₀: нічого не змінилося. Тут H₀: μ = 500.
  • Альтернативна гіпотеза H₁: те, що ви підозрюєте. Тут H₁: μ ≠ 500 (двостороння) або μ < 500, якщо вас турбує лише недоливання (одностороння).

Ви припускаєте, що H₀ правильна, і питаєте: наскільки незвичайною є ця вибірка? Якщо вона була б дуже незвичайною, ви відхиляєте H₀.

Самоперевірка Постачальник стверджує, що його резистори в середньому мають 220 Ω. Ви хочете перевірити це твердження. Що є H₀?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Відповідь: μ = 220 Ω. H₀ — це твердження, що перевіряється, про середнє генеральної сукупності μ. μ ≠ 220 Ω — це альтернатива H₁, а гіпотеза ніколи не стосується вибіркового середнього x̄, яке ви вже знаєте.

2Статистика критерію

Статистика критерію вимірює, наскільки вибіркове середнє віддалене від μ₀, значення в H₀, в одиницях стандартної похибки.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Використовуйте z, коли відоме стандартне відхилення генеральної сукупності σ. Коли відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Значення z або t біля 0 означає, що вибірка узгоджується з H₀. Велике додатне чи від’ємне значення означає, що вибірка далека від μ₀.

Самоперевірка H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 і x̄ = 118. Чому дорівнює z?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Відповідь: −1. Стандартна похибка дорівнює 8/√16 = 2, тож z = (118 − 120)/2 = −1. Ділення на σ = 8 замість σ/√n дає −0,25. Знак від’ємний, бо x̄ нижче за μ₀.

3Рішення: критичні значення та p-значення

Ще до того, як ви подивитеся на дані, оберіть рівень значущості α, зазвичай 0,05. Це ризик, який ви приймаєте, відхиляючи правильну H₀.

Для z-критерію за α = 0,05:

  • Двосторонній (H₁: μ ≠ μ₀): відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96.
  • Односторонній (H₁: μ > μ₀): відхиліть H₀, якщо z > 1,645. Для μ < μ₀: відхиліть, якщо z < −1,645.

p-значення — це ймовірність результату, принаймні такого екстремального, якщо H₀ правильна. Відхиляйте H₀, коли p < α.

Невідхилення H₀ не доводить її. Воно лише означає, що дані не є достатньо сильним свідченням проти неї.

Критерій і довірчий інтервал узгоджені: двосторонній критерій на рівні 5% відхиляє H₀ саме тоді, коли μ₀ лежить поза 95% інтервалом x̄ ± 1,96 · σ/√n.

Самоперевірка Двосторонній z-критерій за α = 0,05 дає z = 1,8. Який висновок?
  1. H₀ доведено
  2. Відхилити H₀
  3. Відхилити H₁ і прийняти H₀ як доведену
  4. Не відхиляти H₀

Відповідь: Не відхиляти H₀. |1,8| менше за 1,96, тож результат не є значущим, і H₀ не відхиляють. Це не доводить H₀; свідчення просто недостатньо сильні.

4Метод крок за кроком

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та вирішіть, чи критерій односторонній, чи двосторонній.
  2. Оберіть z (σ відоме) або t (відоме лише s, df = n − 1).
  3. Обчисліть стандартну похибку σ/√n або s/√n.
  4. Обчисліть статистику критерію (x̄ − μ₀) / стандартна похибка.
  5. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  6. Сформулюйте висновок словами, у термінах запитання.

5Розв’язаний приклад

Простежте кожен крок. Спробуйте передбачити наступний, перш ніж його відкрити.

Розв’язаний приклад

Автомат має наливати в пляшки в середньому по 500 mL. σ = 12 mL. Вибірка з 36 пляшок має середнє 496 mL. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ ≠ 500 за α = 0,05.

1

Гіпотези

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Критерій двосторонній, тож критичні значення ±1,96.

2

Стандартна похибка

σ відоме, тож використовуйте z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Статистика критерію

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Порівняйте

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 більше за 1,96, тож z лежить у затіненій області відхилення.

5

Перевірка інтервалом

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

Значення 500 лежить поза 95% інтервалом, тож інтервал дає те саме рішення.

Відповідь

z = −2. Відхиліть H₀ на рівні 5%: середній об’єм наливання автомата відрізняється від 500 mL.

6Типові помилки

  • Використовувати односторонне критичне значення (1,645) для двостороннього критерію або навпаки.
  • Стверджують, що H₀ доведено, коли її не відхилено.
  • Забувають √n у стандартній похибці.
  • Записувати x̄ − μ₀ навпаки, через що знак z змінюється.
  • Використовувати z, коли для малої вибірки відоме лише вибіркове s.
Самоперевірка Односторонній критерій з H₁: μ > μ₀ за α = 0,05 дає z = 1,8. Який висновок?
  1. Відхилити H₀, бо 1,8 > 1,645
  2. Відхилити H₀, бо z додатне
  3. Не відхиляти H₀, бо 1,8 < 1,96
  4. Не відхиляти H₀, бо 1,8 < 2,576

Відповідь: Відхилити H₀, бо 1,8 > 1,645. Односторонній критерій на рівні 5% кладе всі 5% в один хвіст, тож критичне значення 1,645. Порівняння з 1,96 помилково використовує двостороннє значення.

7Як виглядають екзаменаційні запитання

  • Легко: статистика z. σ відоме; обчисліть z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Середньо: статистика t. Дано лише вибіркове стандартне відхилення s; обчисліть t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Складно: довірчі інтервали. Знайдіть нижню або верхню межу x̄ ± z · σ/√n на рівні 95% або 99%.

Швидка перевірка: якщо x̄ нижче за μ₀, статистика критерію має бути від’ємною.

Вивчайте крок за кроком у застосункуВивчайте крок за кроком у застосунку

Розв’язані приклади

Приклад 1Легка
z −1,9601,96

Автомат має наливати в пляшки в середньому 100 mL. Стандартне відхилення відоме: 4 mL. Вибірка з 81 пляшок має середнє 99,6 mL. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

Знайти: z

Показати підказки
  1. Стандартна похибка середнього — стандартне відхилення, поділене на √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Потім поділіть різницю x̄ − μ₀ на стандартну похибку. Зберігайте знак.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Статистика критерію

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Відповідь

z = −0,9

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

Приклад 2Середня
t −1,99801,998

Вибірка з 64 студентів має середній бал 504,5 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

Знайти: t

Показати підказки
  1. Стандартна похибка середнього — стандартне відхилення, поділене на √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Потім поділіть різницю x̄ − μ₀ на стандартну похибку. Зберігайте знак.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Статистика критерію

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Відповідь

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

Приклад 3Складна
z −2,57602,576

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 80. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Знайти: L

Показати підказки
  1. Довірчий інтервал: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 для 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Межа інтервалу

L = 80 − 6,44 = 73,56

Відповідь

L = 73,56

Запитання й відповіді

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали: що це?

Автомат має наливати в пляшки в середньому по 500 mL. Вибірка пляшок має середнє 496 mL. Автомат помиляється, чи це просто випадковість?

Ви припускаєте, що H₀ правильна, і питаєте: наскільки незвичайною є ця вибірка? Якщо вона була б дуже незвичайною, ви відхиляєте H₀.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали: як розв’язувати задачі крок за кроком?
  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали: які помилки найпоширеніші?
  • Використовують однобічне критичне значення для двобічного критерію.
  • Стверджують, що H₀ доведено, коли її не відхилено.
  • Забувають √n у стандартній похибці.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали: що ви тренуєте?
  • Легка: z-статистика
  • Середня: t-статистика
  • Складна: довірчі інтервали

Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.

Як проходить тренування

  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.

Теми до і після цієї

Спочатку вивчіть

Довірчі інтервали

Далі

Критерії хі-квадрат

Калькулятори

Калькулятор t-критеріюКалькулятор p-значенняКалькулятор однофакторного дисперсійного аналізу (ANOVA)

Курси з цією темою

Методи досліджень і статистика в психологіїОснови статистикиСтатистика 2: Статистичне висновуванняДоказова практикаТренувальні задачі AP StatisticsТренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I

Інші теми: Математика і статистика

ГраниціПохідніОптимізаціяІнтегралиПослідовності та рядиДиференціальне числення функцій багатьох зміннихДиференціальні рівнянняКомплексні числаЧисельні методиМатриці та визначникиВектори: скалярний і векторний добуткиЛогіка висловлювань і доведенняМножини, відношення та функціїТеорія графівТеорія чисел і арифметика за модулемІмовірністьОписова статистикаНормальний розподілДовірчі інтервалиЛінійна регресія та кореляціяКритерії хі-квадрат

Робочий аркуш для друку

Робочий аркуш «Перевірка гіпотез і довірчі інтервали» з відповідями
Тренуйтеся безкоштовно: Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиТренуйтеся зараз: Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.