Диференціальні рівняння: тренувальні задачі й екзаменаційні питання

Диференціальні рівняння першого порядку та їх застосування: зростання й розпад, закон охолодження Ньютона, задачі на змішування та лінійні рівняння з інтегрувальним множником, а також методи Ейлера й Хойна для рівнянь без формульного розв’язку.

Тренуйте цей курс безкоштовно Тренувати цей курс Скласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Шпаргалка-підсумок (PDF)Аркуші з формулами, кроки методів і задачі для практики з повними розв’язками, готові до друку.

Теми цього курсу

Поради до іспиту: Диференціальні рівняння

Спершу визначте тип: з відокремлюваними змінними, лінійне чи стандартна модель, як-от зростання або охолодження.
Сталу знайдіть наприкінці з початкової умови.
Перевірте відповідь, підставивши її назад у рівняння.

Розв’язані приклади

Диференціальні рівнянняЛегка

Для рівняння y″ + 4y′ + 3y = 0 знайдіть корінь r характеристичного рівняння, найближчий до нуля. Він визначає, як повільно згасає розв’язок.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Знайти: r

Показати підказки

Підставте y = e^rt.
r² + 4r + 3 = 0.
Розкладіть на множники або скористайтеся формулою коренів квадратного рівняння.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Характеристичне рівняння

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Корені

r = −1, r = −3

найближчий до нуля: r = −1

Відповідь

r = −1

Загальний розв’язок: y = A·e^−1t + B·e^−3t.

ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² x·cos x dx (x у радіанах).

∫₀² x·cos x dx

Знайти: I

Показати підказки

Візьміть u = x і dv = cos x dx.
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

Показати відповідь і покроковий розв’язок

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первісна

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Границі

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Відповідь

I = 0,4024

Як проходить тренування

«Тренувати цей курс» змішує задачі з усіх його тем, як на справжньому іспиті.
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Пробні іспити обмежені в часі й не мають підказок, а наприкінці ви отримуєте результат і повний розбір.

Калькулятори для цього курсу

Калькулятор періоду напіврозпаду й експоненціального розпаду Калькулятор похідної з кроками Калькулятор інтегралів (визначених і невизначених)

Пов’язані курси

Вища математика Тренувальні задачі AP Calculus Математичний аналіз 1 Інженерна математика 2 Математичний аналіз 2 Чисельні методи Основи статистики Статистика 2: Статистичне висновування