Калькулятор інтегралів (визначених і невизначених)
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
Первісна від 1/x — це ln|x|: модуль робить її чинною й для від’ємних x.
Знайдіть первісну або обчисліть визначений інтеграл. Для сум стандартних доданків, як-от степені x, 1/x, e^(ax + b), sin, cos і sec² від ax + b, (ax + b)ⁿ та ln(ax + b), калькулятор інтегрує почленно й точно обчислює F(b) − F(a). Будь-яка інша неперервна функція інтегрується чисельно за адаптивною формулою Сімпсона, а калькулятор попереджає про невласні інтеграли.
Покроковий розв’язок
Прочитайте функцію та межі
Знайдіть первісну почленно
Обчисліть F(b) − F(a)
Чисельна перевірка
Основні формули
- Похідна степеня
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Визначений інтеграл
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Основні інтеграли
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Площа між кривими
- ∫ab (f − g) dx
Як обчислити визначений інтеграл
- Розбийте підінтегральну функцію на суму доданків і проінтегруйте кожен окремо; сталі множники лишаються спереду.
- Використайте степеневе правило ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) для n ≠ −1 і ∫ 1/x dx = ln|x|.
- Для функції від ax + b діліть на a: ∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a і ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a.
- Обчисліть первісну на верхній і нижній межах і відніміть: ∫ f(x) dx від a до b = F(b) − F(a). Стала C скорочується.
- Перевірте, що підінтегральна функція неперервна на [a, b]. Якщо вона має там вертикальну асимптоту, як 1/x в x = 0, інтеграл невласний і потребує границі.
Запитання й відповіді
Які інтеграли калькулятор розв’язує точно?
Суми кратних сталих від xⁿ (довільне раціональне n), 1/x, e^(ax + b), kˣ, sin(ax + b), cos(ax + b), sec²(ax + b), csc²(ax + b), sec·tan та csc·cot від ax + b, (ax + b)ⁿ і ln(ax + b). Добутки на кшталт x·eˣ потребують інтегрування частинами й натомість обчислюються чисельно.
Наскільки точне чисельне інтегрування?
Адаптивна формула Сімпсона продовжує ділити навпіл ті частини інтервалу, де оцінка змінюється, доки для гладких функцій не збігатиметься приблизно до десяти значущих цифр. Калькулятор показує кількість обчислень функції та оцінку похибки.
Що таке + C?
Стала інтегрування. Кожна функція має нескінченно багато первісних, що відрізняються на сталу, бо похідна сталої дорівнює нулю. У визначеному інтегралі вона скорочується.
Чому я отримую помилку про невласний інтеграл?
Підінтегральна функція не визначена або нескінченна десь у [a, b], наприклад 1/x на [−1, 1] або tan(x) через π/2. Такі інтеграли потребують границі й можуть розбігатися, тож калькулятор не дає для них значення.
Чи можна використовувати π у межах?
Так. Введіть pi, pi/2 або 2pi, чи e, як межу; наприклад, інтеграл від sin(x) від 0 до pi дорівнює 2.
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Інтеграли»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.