Чисельні методи: тренувальні задачі й екзаменаційні питання

Обчислення відповідей, що не мають формули: корені рівнянь методами бісекції та Ньютона–Рафсона, інтерполяція в таблицях, чисельне інтегрування за формулами трапецій і Сімпсона та диференціальні рівняння методами Ейлера, Хойна й Рунге–Кутти. На іспитах просять виконати кілька ітерацій у таблиці та знайти розмір похибки.

Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Шпаргалка-підсумок (PDF)Аркуші з формулами, кроки методів і задачі для практики з повними розв’язками, готові до друку.

Теми цього курсу

  1. Чисельні методикорені та інтерполяція · формули трапецій і Сімпсона · Ейлер, Хойн і Рунге–Куттарозрахунки
  2. Послідовності та рядиарифметичні та геометричні ряди · збіжність і степеневі ряди · многочлени Тейлора та Маклоренарозрахунки
  3. Матриці та визначникивизначник 2×2 · 3×3 і добутки · власні значення і системирозрахунки
  4. Диференціальні рівнянняекспоненціальне зростання й спадання · Закон охолодження Ньютона · лінійні першого порядкурозрахунки

Поради до іспиту: Чисельні методи

  • Зберігайте щонайменше шість значущих цифр у кожній ітерації й округлюйте лише остаточну відповідь.
  • Запишіть ваги формули інтегрування під таблицею значень, перш ніж щось додавати.
  • Використовуйте многочлени Тейлора, щоб пояснити похибку: похибка Ейлера пропорційна h, Сімпсона — h⁴.

Розв’язані приклади

Чисельні методиЛегка

Метод бісекції починає з інтервалу довжиною 4. Кожен крок ділить інтервал навпіл. Скільки кроків n потрібно щонайменше, щоб інтервал став коротшим за 0,0001?

b − a = 4ε = 0,0001

Знайти: n

Показати підказки
  1. Після n кроків інтервал має довжину (b − a)/2ⁿ.
  2. Розв’яжіть 4/2ⁿ < 0,0001, тож 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15,29
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Знаходження коренів та інтерполяція: метод бісекції зберігає інтервал [a, b], на якому f змінює знак; на кожному кроці береться середина c = (a + b)/2 і залишається та половина, де знак усе ще змінюється, тож після n кроків ширина інтервалу дорівнює (b − a)/2ⁿ. Метод Ньютона–Рафсона йде за дотичною до осі: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); поблизу простого кореня він приблизно подвоює кількість правильних цифр на кроці. Лінійна інтерполяція між двома точками таблиці: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Умова

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Логарифм

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16

Перевірка

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Відповідь

n = 16
Послідовності та рядиСередня
kSn​12345678910S = ?

Знайдіть суму S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Знайти: S

Показати підказки
  1. Найпростіші дроби: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Випишіть перші кілька членів: більшість скорочується (телескопічна сума).
  3. Лишається (12/3)·(1 + … + 1/3).
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Збіжність: якщо члени не прямують до 0, ряд розбігається (необхідна умова збіжності, ознака n-го члена). Σ1/kᵖ збігається лише за p > 1, а Σrᵏ лише за |r| < 1. Порівнюйте ряд з одним із них, коли його члени для великих k поводяться як вони. Ознака Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; ознака Коші: L = lim |ak|1/k. L < 1 — збігається, L > 1 — розбігається, L = 1 нічого не вирішує. Степеневий ряд Σck(x − x₀)ᵏ збігається для |x − x₀| < R, де R = lim |ck/ck+1|; знакозмінний ряд із членами, що спадають до 0, збігається.

Простіші дроби

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Скасувати

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Відповідь

S = 7,333

Як проходить тренування

  • «Тренувати цей курс» змішує задачі з усіх його тем, як на справжньому іспиті.
  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Пробні іспити обмежені в часі й не мають підказок, а наприкінці ви отримуєте результат і повний розбір.

Калькулятори для цього курсу

Калькулятор визначника й оберненої матриціКалькулятор власних значень і власних векторівКалькулятор періоду напіврозпаду й експоненціального розпадуКалькулятор систем лінійних рівнянь (2×2 і 3×3)

Пов’язані курси

Інженерна математика 2Вища математикаДиференціальні рівнянняМатематичний аналіз 2Тренувальні задачі AP CalculusМатематичний аналіз 1Основи статистикиСтатистика 2: Статистичне висновування
Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.