Калькулятор власних значень і власних векторів
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
| Власне значення | Кратність | Власний вектор | Одиничний власний вектор |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0,8944, 0, 0,4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0,5774, 0,5774, −0,5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0,7071, 0, −0,7071) |
Знайдіть власні значення та власні вектори матриці 2×2 або 3×3. Калькулятор розкриває det(A − λI) у характеристичний многочлен, розв’язує його для дійсних чи комплексних власних значень з їхньою кратністю та знаходить власні вектори кожного дійсного власного значення, розв’язуючи (A − λI)v = 0. Кожен власний вектор перевіряється обчисленням A·v, а для кратних власних значень показується, чи можна матрицю діагоналізувати.
Покроковий розв’язок
Характеристичне рівняння det(A − λI) = 0
Власні значення
Власний вектор (λ = 5)
Власний вектор (λ = 3)
Власний вектор (λ = 2)
Основні формули
- Власні значення
- det(A − λI) = 0
Як знайти власні значення та власні вектори
- Відніміть λ від кожного діагонального елемента A, щоб отримати A − λI.
- Прирівняйте визначник до нуля: det(A − λI) = 0. Для матриці 2×2 це λ² − (tr A)λ + det A = 0; для матриці 3×3 це кубічне рівняння.
- Розв’яжіть характеристичне рівняння. Перевірка: власні значення в сумі дають слід, а їхній добуток дорівнює визначнику.
- Для кожного власного значення розв’яжіть (A − λI)v = 0 зведенням рядків. Розв’язки утворюють пряму (або площину); будь-який ненульовий вектор у ній є власним вектором.
- Перевірте кожен власний вектор: A·v має дорівнювати λ·v.
Запитання й відповіді
Як ввести матрицю?
Вводьте рядки, розділені крапками з комою, а числа в кожному рядку — пробілами, наприклад 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 для матриці 3×3. Допустимі десяткові та від’ємні числа.
Чому матриця може мати комплексні власні значення?
Характеристичний многочлен може мати комплексні корені, а для дійсної матриці вони завжди трапляються спряженими парами. Матриця повороту 0 -1; 1 0 має власні значення ±i, бо жоден дійсний вектор не зберігає свій напрям при повороті.
Що означає кратне власне значення?
Корінь характеристичного многочлена кратності 2 або 3. Матриця все одно може мати стільки незалежних власних векторів, як одинична матриця, або менше. Якщо менше, вона дефектна й не діагоналізовна.
Чи єдиний власний вектор?
Ні. Будь-яке ненульове кратне власного вектора також є власним вектором. Калькулятор показує простий вигляд, де можливо з цілими числами, і одиничний вектор довжини 1.
Для чого використовують власні значення?
Вони дають власні частоти коливальних систем, головні напруження тензора напружень, стійкість систем диференціальних рівнянь та головні напрями в аналізі головних компонент.
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Матриці та визначники»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.