Калькулятор квадратних рівнянь (ax² + bx + c = 0)

Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.

Результат

Кореніx₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁2,5
x₂−1
Дискримінант Δ49
Природа коренівдва різні дійсні корені
Вершина(0,75, −6,125)
Вісь симетріїx = 0,75
Перетин з віссю y−5
Парабола відкритавгору (мінімум у вершині)
Розкладена форма(2x − 5)(x + 1)

Розв’яжіть будь-яке квадратне рівняння ax² + bx + c = 0. Калькулятор обчислює дискримінант, використовує формулу коренів і дає корені як десяткові числа та в точному вигляді, у вигляді дробів або спрощених квадратних коренів на кшталт 2 ± √3, зокрема комплексні корені. Він також знаходить вершину, вісь симетрії та розкладену форму й перевіряє корені за формулами Вієта.

Покроковий розв’язок

Визначте a, b і c

2x² − 3x − 5 = 0: a = 2, b = −3, c = −5

Дискримінант

Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4·2·(−5) = 49
Δ > 0 → два різні дійсні корені

Формула коренів квадратного рівняння

x = (−b ± √Δ)/(2a) = (3 ± √49)/4
точно: x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁ = 2,5, x₂ = −1

Вершина та вісь симетрії

h = −b/(2a) = 3/4 ≈ 0,75
k = c − b²/(4a) = −49/8 ≈ −6,125
вершинна форма: y = 2(x − 0,75)2 − 6,125

Розкладена форма

2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)

Перевірте за формулами Вієта

x₁ + x₂ = −b/a = 1,5
x₁·x₂ = c/a = −2,5

Основні формули

Квадратне рівняння з p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Як розв’язати квадратне рівняння

  1. Запишіть рівняння в стандартній формі ax² + bx + c = 0 і визначте a, b і c разом зі знаками.
  2. Обчисліть дискримінант Δ = b² − 4ac. Якщо Δ > 0, є два дійсні корені, якщо Δ = 0 — один кратний, а якщо Δ < 0 — два комплексно спряжені корені.
  3. Скористайтеся формулою x = (−b ± √Δ)/(2a). Спростіть квадратний корінь, виносячи повні квадрати: √12 = 2√3.
  4. Для Δ < 0 запишіть √Δ = i·√|Δ|, тож корені: −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
  5. Вершина параболи y = ax² + bx + c міститься в x = −b/(2a); підставте це значення, щоб знайти ординату.
  6. Перевірка: корені в сумі дають −b/a, а їхній добуток дорівнює c/a.

Запитання й відповіді

Коли можна розкласти на множники замість формули?

Коли дискримінант є повним квадратом, а коефіцієнти цілі, корені раціональні, і квадратний тричлен розкладається над цілими числами, як 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). В інших випадках надійний метод — формула коренів.

Що означає від’ємний дискримінант?

Парабола не перетинає вісь x, тож дійсних коренів немає. Два корені — комплексно спряжені p ± qi, які важливі, наприклад, у згасних коливаннях та аналізі кіл.

Що таке вершинна форма?

y = a(x − h)² + k, де (h, k) — вершина. Вона безпосередньо показує мінімум (a > 0) або максимум (a < 0) параболи й знаходиться виділенням повного квадрата.

А що, якщо a = 0?

Тоді рівняння лінійне, bx + c = 0, з єдиним розв’язком x = −c/b. Формула коренів ділила б на нуль, тож калькулятор просить ненульове a.

Чому калькулятор дає точні корені?

На іспитах часто просять відповіді на кшталт (3 ± √17)/4, а не десяткові числа. Коли a, b і c цілі або десяткові, калькулятор працює з точними дробами й спрощує квадратний корінь.

Потренуйтеся самі

Комплексні числа: задачі з покроковими розв’язкамиЯк розв’язувати задачі на тему «Комплексні числа»Робочий аркуш «Комплексні числа» з відповідями

Тренувати тему «Комплексні числа»

Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.

Тренуйтеся безкоштовно: Комплексні числаТренуйтеся зараз: Комплексні числаРозв’язані приклади
</> Вбудувати

Безкоштовно для викладачів і шкіл: вставте цей код на сторінку курсу, у LMS або на свій сайт. Студенти можуть користуватися калькулятором і покроковим розв’язком без акаунта.

Інші калькулятори

Калькулятор z-оцінки й нормальної ймовірностіКалькулятор довірчого інтервалуКалькулятор обсягу вибіркиКалькулятор середнього, медіани й стандартного відхиленняКалькулятор лінійної регресіїКалькулятор критерію узгодженості хі-квадратКалькулятор визначника й оберненої матриціКалькулятор нормального розподілуКалькулятор біноміального розподілуКалькулятор розподілу Пуассона