Сигнали та системи: тренувальні задачі й екзаменаційні питання

Неперервні й дискретні сигнали, що проходять через лінійні стаціонарні системи: згортка, імпульсна та перехідна характеристики, перетворення Лапласа, частотна характеристика й ряд Фур’є. На іспитах поєднуються ескізи й короткі обчислення.

Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.

Шпаргалка-підсумок (PDF)Аркуші з формулами, кроки методів і задачі для практики з повними розв’язками, готові до друку.

Теми цього курсу

  1. Згортка та лінійні стаціонарні системидискретна згортка · неперервна згортка · імпульсна характеристика та ряд Фур’єрозрахунки
  2. Перетворення Лапласатаблиця пар і теореми про значення · обернене перетворення розкладом на простіші дроби · Диференціальні рівняння та передатні функціїрозрахунки
  3. Перехідна характеристикасистеми першого порядку · параметри другого порядку · фізичні системи та проєктуваннярозрахунки
  4. Діаграми Боде та запасифільтри й асимптоти · модуль і фаза · запаси стійкостірозрахунки

Поради до іспиту: Сигнали та системи

  • Накресліть сигнали, перш ніж виконувати згортку: перекриття підкаже межі суми або інтеграла.
  • Вихід лінійної стаціонарної системи починається в суму моментів початку й закінчується в суму моментів завершення.
  • Синусоїда виходить із тією самою частотою, помноженою на |H(jω)| і зсунутою на ∠H(jω).

Розв’язані приклади

Згортка та лінійні стаціонарні системиЛегка
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Послідовності x[n] = {4, −3, −2} і h[n] = {3, 1} обидві починаються з n = 0. Знайдіть відлік y[1] згортки y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Знайти: y[1]

Показати підказки
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Для n = 1 доданки відповідають k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Дискретна згортка: вихід лінійної стаціонарної системи має вигляд y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: відобразіть h дзеркально, зсуньте на n, помножте відлік на відлік із x і додайте. Якщо x має Lx відліків, що починаються з nx, а h має Lh відліків, що починаються з nh, то y має Lx + Lh − 1 відліків, що починаються з nx + nh. Сума всіх відліків y дорівнює (Σx)·(Σh). КІХ-фільтр y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … — це згортка з h[n] = bn.

Доданки суми

Вносять внесок лише ті k, для яких існують і x[k], і h[n − k].

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Додайте

y[1] = −5

Відповідь

y[1] = −5
Перетворення ЛапласаСередня
ReIm−5−10−15−20−25

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Її оригінал має вигляд f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Знайдіть коефіцієнт A розкладом на простіші дроби.

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)

Знайти: A

Показати підказки
  1. Розкладіть знаменник на множники: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
  2. Правило закривання: A = [(s + 6)·F(s)] при s = −6.
  3. При s = −6: чисельник 16, інший множник 2.
Показати відповідь і покроковий розв’язок

Перетворення Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt перетворює похідні на множення на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартні пари: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а зсув s → s + σ множить оригінал на e−σt. Щоб знайти оригінал раціональної F(s), розкладіть її на простіші дроби: коефіцієнт простого полюса p дорівнює A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема про кінцеве значення: f(∞) = lims→0 s·F(s), справедлива лише тоді, коли всі полюси s·F(s) лежать у лівій півплощині. Теорема про початкове значення: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).

Розкладіть знаменник на множники

s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)

Правило закривання

Помножте на (s + 6) і покладіть s = −6: доданок із B зникає.

A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8

Відповідь

A = 8
(B = −7, тож f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)

Як проходить тренування

  • «Тренувати цей курс» змішує задачі з усіх його тем, як на справжньому іспиті.
  • Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
  • Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
  • Пробні іспити обмежені в часі й не мають підказок, а наприкінці ви отримуєте результат і повний розбір.

Калькулятори для цього курсу

Калькулятор оберненого перетворення Лапласа (розклад на прості дроби)Калькулятор децибелів (dB, dBm і рівні звуку)Калькулятор діаграми Боде (запас за амплітудою та фазою)Калькулятор перетворення Лапласа

Пов’язані курси

Теорія автоматичного керування 1Підготовка до іспиту FE Electrical and ComputerТеорія керування 2: проєктування зворотного зв’язкуІнженерна математика 2Підготовка до іспиту FE MechanicalТеорія електричних кіл 2: кола змінного струмуМехатронні системиТеорія електричних кіл 1
Тренуйте цей курс безкоштовноТренувати цей курсСкласти пробний іспитБезкоштовних задач щодня: 5. Без картки.