Калькулятор перетворення Лапласа
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
Знайдіть перетворення Лапласа функції зі звичайних доданків: степенів t, експонент, синусів і косинусів (з фазою), sinh і cosh, зміщених сходинок u(t − c) та імпульсів δ(t − c). Калькулятор перетворює кожен доданок за стандартною таблицею та теоремами зсуву, показує, які відповідності він використав, і дає F(s) з областю збіжності.
Покроковий розв’язок
Перетворіть кожен доданок
Використані табличні відповідності
Додайте перетворення (лінійність)
Як знайти перетворення Лапласа за таблицею
- Розбийте f(t) на суму доданків; перетворення Лапласа лінійне.
- Використайте основні пари: L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹, L{sin ωt} = ω/(s² + ω²) і L{cos ωt} = s/(s² + ω²).
- Множення на e^(at) зсуває s: L{e^(at) f(t)} = F(s − a).
- Запізнілий доданок g(t)·u(t − c) перетворюється на e^(−cs)·L{g(t + c)}.
- Додайте перетворення доданків; F(s) існує для Re(s), більшого за найбільший показник a.
Запитання й відповіді
Як ввести f(t)?
Наприклад 3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1). Використовуйте ^ для степенів, e^(at) або exp(at) для експонент, u(t-c) для сходинки та δ(t-c) або delta(t-c) для імпульсу. Фаза допустима, як у sin(2t + 1).
Чим відрізняється t·u(t − 1) від (t − 1)·u(t − 1)?
Друге — це запізніла лінійно зростаюча функція, що перетворюється на e^(−s)/s². Перше — це t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1), що перетворюється на e^(−s)(1/s² + 1/s). Калькулятор обробляє обидва, записуючи g(t + c).
Як перетворюються t·sin(ωt) і t·cos(ωt)?
Через L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹: уявна частина дає синус, а дійсна — косинус, наприклад L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)².
Що таке область збіжності?
Значення s, за яких інтеграл перетворення збігається: Re(s), більше за найбільшу швидкість зростання в f(t). Для e^(3t) це Re(s) > 3.
Чи можна ввести добуток двох синусів?
Не напряму. Спершу перепишіть його за формулою перетворення добутку на суму, наприклад sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)].
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Перетворення Лапласа»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.