Калькулятор критерію стійкості Рауса–Гурвіца
Введіть свої значення. Відповідь і повний розв’язок оновлюються під час введення.
Результат
Ці значення надто екстремальні для обчислення.
Перевірте стійкість лінійної системи за її характеристичним многочленом. Калькулятор будує таблицю Рауса з точними дробами, обробляє нуль у першому стовпці (метод ε) та рядок нулів (допоміжний многочлен), підраховує зміни знака й дає кількість коренів у правій півплощині, на уявній осі та в лівій півплощині.
Покроковий розв’язок
Основні формули
- Стійкість
- усі корені характеристичного полінома в лівій півплощині
- таблиця Рауса, елемент s¹ кубічного полінома
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- Корені в правій півплощині
- кількість змін знака в першому стовпці
- Кубічний поліном s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- стійкий, коли всі a > 0 і a₂·a₁ > a₀
- Характеристичне рівняння
- 1 + K·G(s) = 0
Як користуватися критерієм Рауса–Гурвіца
- Запишіть характеристичний многочлен з усіма степенями s від старшого вниз. Якщо коефіцієнта бракує або знаки різняться, система не може бути стійкою.
- Заповніть перший рядок 1-м, 3-м, 5-м, … коефіцієнтами, а другий рядок — 2-м, 4-м, 6-м, ….
- Кожен наступний елемент дорівнює (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, за двома рядками вище нього.
- Якщо перший елемент нульовий, але рядок не весь нульовий, замініть його малим ε > 0. Якщо весь рядок нульовий, замініть його похідною допоміжного многочлена, утвореного з рядка вище.
- Кількість змін знака в першому стовпці дорівнює кількості коренів у правій півплощині.
Запитання й відповіді
Що означає рядок нулів?
Многочлен має корені, симетричні відносно початку координат: пари ±a, ±jω або четвірки. Допоміжний многочлен із рядка вище містить саме ці корені, а його корені на уявній осі роблять систему щонайбільше нейтрально стійкою.
Чи завжди надійний метод ε?
Ні, коли корені лежать на уявній осі. Тому калькулятор також виокремлює спільний множник P(s) і P(−s), який містить усі симетричні корені, і точно підраховує його корені на уявній осі. Якщо це змінює підрахунок, кроки про це повідомляють.
Як знайти діапазон K для стійкості?
Внесіть підсилення K у коефіцієнти, побудуйте таблицю символьно й вимагайте, щоб кожен елемент першого стовпця був додатним. Цей калькулятор працює з числами, тож ним можна перевірити значення K по обидва боки знайденої межі.
Чи означає стійка таблиця Рауса вдалий проєкт?
Вона лише каже, що всі полюси в лівій півплощині. Наскільки швидкий і добре демпфований відгук, залежить від положення полюсів; для цього використовуйте годограф коренів або діаграму Боде.
Потренуйтеся самі
Тренувати тему «Стійкість: Раус–Гурвіц і кореневий годограф»
Калькулятор дає відповідь. На іспиті потрібен метод: тренуйте його на нових задачах із підказками й розв’язками.