Безкоштовні задачі з теми Блок-схеми з рисунками, підказками й повними розв’язками. Щоразу нові значення, трьох рівнів: послідовне, паралельне з’єднання та зворотний зв’язок, передатні функції замкненої системи та похибки, збурення, стійкість і полюси.
Безкоштовна задачаЛегка
Сигнал R розгалужується на два паралельні блоки G₂ = 11 і G₃ = 8. Їхні виходи зустрічаються в суматорі зі знаками, як показано (+ and +), а сума проходить через G₁ = 9. Знайдіть загальний коефіцієнт підсилення T = C/R.
Система керування — це ланцюг частин: регулятор, двигун, датчик. Блок-схема зображує кожну частину як прямокутник, а кожен сигнал як стрілку.
Блок множить свій вхідний сигнал на свій коефіцієнт підсилення або передавальну функцію G. Якщо в блок G = 5 входить 3, виходить 15.
Суматор (коло) додає або віднімає сигнали. Знак біля кожної вхідної стрілки показує, що саме. Крапка — це точка відгалуження: сигнал копіюється, а не ділиться.
Це найважливіша картина в керуванні. Вихід C вимірюється через H і віднімається від завдання R. Різниця E = R − H·C — це похибка, що керує G.
Це від’ємний зворотний зв’язок: коли вихід надто високий, похибка зменшується й тягне його назад униз.
Самоперевірка На суматорі R входить із +, а сигнал зворотного зв’язку B входить із −. R = 10 і B = 4. Що виходить із суматора?
14
40
6
−6
Відповідь: 6. Знаки на суматорі кажуть, що E = R − B = 10 − 4 = 6. 14 ігнорує мінус, а −6 віднімає навпаки.
2Три правила спрощення будь-якої схеми
Ви спрощуєте схему крок за кроком, доки не лишиться один блок. Його коефіцієнт T = C/R — це передавальна функція замкненої системи.
Послідовно: блоки один за одним множаться, G₁·G₂.
Паралельно: блоки, що живлять той самий суматор, додаються зі знаками на суматорі: G₁ + G₂ або G₁ − G₂.
Контур зворотного зв’язку: прямий блок G із від’ємним зворотним зв’язком H стає G/(1 + G·H).
Правило зворотного зв’язку випливає з двох рівнянь. На суматорі E = R − H·C, а блок дає C = G·E. Тож C = G·R − G·H·C, і отже:
T = C/R = G/(1 + G·H)
З додатним зворотним зв’язком сигнал додається на суматорі, і знак у знаменнику змінюється: T = G/(1 − G·H).
Добуток G·H — це коефіцієнт підсилення контуру. Коли він великий, T наближається до 1/H: коефіцієнт підсилення задає датчик, а не об’єкт керування.
Самоперевірка G₁ = 2 і G₂ = 5 з’єднані послідовно, з від’ємним зворотним зв’язком H = 0,3. Чому дорівнює T = C/R?
0,75
10
2,5
−5
Відповідь: 2,5. G = 2·5 = 10 і G·H = 3, тож T = 10/(1 + 3) = 2,5. Значення 10 ігнорує контур, −5 використовує 1 − G·H, а 0,75 ставить H у чисельник.
3Контури з передавальними функціями
Реальні блоки залежать від s, наприклад двигун G(s) = b/(s + a). Діють ті самі правила. Потім ви усуваєте дроби всередині дробів.
З одиничним зворотним зв’язком (H = 1) помножте чисельник і знаменник G/(1 + G) на (s + a):
T(s) = b/(s + a + b)
Полюс замкненої системи — це корінь знаменника: p = −(a + b). Він лежить лівіше за полюс розімкненої системи −a, тож контур швидший.
Стала часу дорівнює τ = 1/(a + b).
Коефіцієнт підсилення на постійному струмі (DC) — це T(0) = b/(a + b). Сходинка розміром A встановлюється на css = A·T(0).
З коефіцієнтом датчика H знаменник стає s + a + b·H.
Усталена похибка ess — це те, що лишається від R − C після встановлення. З одиничним зворотним зв’язком використовують константи похибок:
Для сходинки розміром A: ess = A/(1 + Kp), де константа положення Kp = G(0).
Для лінійно зростаючого сигналу r(t) = A·t: ess = A/Kv, де константа швидкості Kv = lims→0 s·G(s).
Для G(s) = 8/(s(s + 4)) множник s скорочується: Kv = 8/4 = 2. Тоді лінійно зростаючий сигнал r(t) = 1·t дає ess = 1/2 = 0,5.
Для контуру другого порядку, як-от G(s) = K/(s(s + 6)), замкнена система має s² + 6s + K = 0. Два рівні дійсні полюси (критичне демпфування) потребують 6² = 4K, тож K = 9.
Розв’язаний приклад
G(s) = 6/(s + 2) поміщено в контур з одиничним від’ємним зворотним зв’язком. Знайдіть полюс замкненої системи, сталу часу й усталений вихід для сходинки розміром 4.
1
Замкніть контур
T(s) = G/(1 + G) = 6/(s + 2 + 6) = 6/(s + 8)
2
Полюс і стала часу
Полюс — це корінь s + 8 = 0.
p = −8, τ = 1/8 = 0,125 s
3
Усталений вихід
Покладіть s = 0 для DC-коефіцієнта, потім помножте на розмір сходинки.
T(0) = 6/8 = 0,75, css = 4·0,75 = 3
Похибка дорівнює 4 − 3 = 1. Константа Kp = G(0) = 3 дає те саме: 4/(1 + 3) = 1.
Відповідь
p = −8, τ = 0,125 s і css = 3.
Самоперевірка G(s) = 6/(s + 2) у контурі з одиничним від’ємним зворотним зв’язком. Яке число є полюсом замкненої системи?
8
−0,125
−2
−8
Відповідь: −8. T(s) = 6/(s + 8), тож полюс дорівнює −8. −2 — це полюс розімкненої системи до зворотного зв’язку. Полюс — це значення s, тож тут він від’ємний, а −0,125 плутає його з τ = 1/8.
4Метод крок за кроком
Знайдіть найвнутрішній контур. Спершу спростіть його за G/(1 + G·H) або G/(1 − G·H) для додатного зворотного зв’язку.
Об’єднайте блоки послідовно (множення) і паралельно (додавання зі знаками на суматорі).
Повторюйте, доки не лишиться один блок. Цей блок — T(s) = C/R.
Усуньте дроби: помножте чисельник і знаменник на знаменники G(s).
Прочитайте, що запитано: полюси зі знаменника, T(0) для усталеного режиму, τ = 1/(модуль полюса) для контуру першого порядку.
Швидка перевірка: за s = 0 схему можна спростити звичайними числами. Це одразу дає T(0) і ловить більшість алгебраїчних помилок.
5Розв’язаний приклад
Це типове запитання середнього рівня з малим контуром. Спробуйте кожен крок, перш ніж його відкрити.
Розв’язаний приклад
Об’єкт керування G(s) = 3/(s + 1) має внутрішній контур з від’ємним зворотним зв’язком H₁ = 1. Регулятор K = 4 і зовнішній контур з одиничним від’ємним зворотним зв’язком замикають систему. Знайдіть полюс замкненої системи p і DC-коефіцієнт T(0).
1
Подивіться на схему
Є два контури. Внутрішній контур охоплює лише об’єкт керування. Зовнішній контур охоплює все, від C назад до R.
2
Спростіть внутрішній контур
Використайте G/(1 + G·H₁) і помножте чисельник і знаменник на (s + 1):
Gᵢ = 3/(s + 1 + 3·1) = 3/(s + 4)
3
Послідовно з регулятором
K і Gᵢ тепер з’єднані послідовно, тож перемножте:
K·Gᵢ = 4·3/(s + 4) = 12/(s + 4)
4
Замкніть зовнішній контур
Одиничний зворотний зв’язок навколо 12/(s + 4):
T(s) = 12/(s + 4 + 12) = 12/(s + 16)
Полюс p = −16, а T(0) = 12/16 = 0,75.
5
Перевірте відповідь
Повторіть за s = 0 лише з числами. G(0) = 3, внутрішній контур дає 3/(1 + 3) = 0,75, а K робить це 3.
Зовнішній контур дає 3/(1 + 3) = 0,75. Це збігається з T(0).
Відповідь
T(s) = 12/(s + 16), тож p = −16 і T(0) = 0,75.
6Типові помилки
Використовувати 1 − G·H для від’ємного зворотного зв’язку. Від’ємний зворотний зв’язок дає 1 + G·H, додатний дає 1 − G·H.
Ставити H у чисельник. T = G/(1 + G·H): H з’являється лише в коефіцієнті підсилення контуру.
Замикати зовнішній контур перед внутрішнім. Завжди працюйте зсередини назовні.
Забувати коефіцієнт датчика H у полюсі: знаменник — s + a + b·H, а не s + a + b.
Давати полюс розімкненої системи −a або її коефіцієнт підсилення G(0). Зворотний зв’язок змінює обидва.
Використовувати A/Kp для похибки сходинки. Правильна формула — A/(1 + Kp).
Самоперевірка Підсилювач G = 10 має додатний зворотний зв’язок H = 0,05: сигнал зворотного зв’язку додається на суматорі. Чому дорівнює T = C/R?
0,5
10
20
6,67
Відповідь: 20. Додатний зворотний зв’язок дає T = G/(1 − G·H) = 10/(1 − 0,5) = 20. Значення 6,67 використовує формулу від’ємного зворотного зв’язку 10/1,5. 10 ігнорує контур, а 0,5 — це лише коефіцієнт підсилення контуру G·H.
7Як виглядають екзаменаційні запитання
Легко: послідовне, паралельне з’єднання та зворотний зв’язок. Ви спрощуєте коефіцієнти в контурі, паралельні блоки зі знаками або додатний зворотний зв’язок. Або замикаєте одиничний контур навколо b/(s + a) і даєте полюс, τ, T(0) чи css.
Середньо: передавальні функції замкненої системи та похибки. Малий контур, як у прикладі, коефіцієнт датчика H, коефіцієнт K для критичного демпфування або усталена похибка для сходинки чи лінійно зростаючого сигналу.
Складно: збурення, стійкість і полюси. Збурення D, додане на вході об’єкта, або найбільший коефіцієнт Kmax для стійкості за критерієм Раута–Гурвіца.
Для збурення використайте суперпозицію: знайдіть C від R за D = 0, потім C від D за R = 0 і додайте обидва.
Сигнал R розгалужується на два паралельні блоки G₂ = 7 і G₃ = 12. Їхні виходи зустрічаються в суматорі зі знаками, як показано (+ and −), а сума проходить через G₁ = 10. Знайдіть загальний коефіцієнт підсилення T = C/R.
G₁ = 10G₂ = 7G₃ = 12знаки: + G₂, − G₃
Знайти: T
Показати підказки
Паралельні блоки, що живлять суматор, додаються зі знаками в суматорі.
Ця комбінація з’єднана послідовно з G₁, тож перемножте.
G₂ − G₃ = -5.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Алгебра блок-схем: блоки, з’єднані послідовно, перемножуються (G₁·G₂), блоки, з’єднані паралельно, додаються (G₁ + G₂), а контур із прямим шляхом G і шляхом зворотного зв’язку H зводиться до T = G/(1 + G·H) для від’ємного зворотного зв’язку та G/(1 − G·H) для додатного. Спершу згортайте внутрішні контури, потім рухайтеся назовні. Полюси замкненої системи — корені характеристичного рівняння 1 + G(s)H(s) = 0. Для стійкого контуру вхідна сходинка розміром A дає усталений вихід A·T(0); за одиничного зворотного зв’язку усталена похибка на сходинку дорівнює A/(1 + Kp), де Kp = G(0).
Паралельні блоки
G₂ − G₃ = 7 − 12 = −5
Послідовно з G₁
T = G₁·(G₂ − G₃) = 10·(−5) = −50
Відповідь
T = −50
Приклад 2Середня
Одиничний від’ємний зворотний зв’язок має G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). На задавальний сигнал подано сходинку розміром 2. Знайдіть усталену похибку ess.
G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2
Знайти: ess
Показати підказки
Стала похибки за положенням Kₚ = G(0).
Усталена похибка для сходинки розміром A: A/(1 + Kₚ).
Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Алгебра блок-схем: блоки, з’єднані послідовно, перемножуються (G₁·G₂), блоки, з’єднані паралельно, додаються (G₁ + G₂), а контур із прямим шляхом G і шляхом зворотного зв’язку H зводиться до T = G/(1 + G·H) для від’ємного зворотного зв’язку та G/(1 − G·H) для додатного. Спершу згортайте внутрішні контури, потім рухайтеся назовні. Полюси замкненої системи — корені характеристичного рівняння 1 + G(s)H(s) = 0. Для стійкого контуру вхідна сходинка розміром A дає усталений вихід A·T(0); за одиничного зворотного зв’язку усталена похибка на сходинку дорівнює A/(1 + Kp), де Kp = G(0).
Стала похибки за положенням
Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375
Усталена похибка
ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455
Відповідь
ess = 1,455
Приклад 3Складна
Згорніть блок-схему з G₁ = 5/(s + 2), G₂ = 10/(s + 4), внутрішнім від’ємним зворотним зв’язком H₁ = 4 навколо G₂ та зовнішнім від’ємним зворотним зв’язком H₂ = 1. Знайдіть статичний коефіцієнт підсилення T(0) для C(s)/R(s).
G₁ = 5/(s + 2)G₂ = 10/(s + 4)H₁ = 4H₂ = 1
Знайти: T(0)
Показати підказки
Внутрішній контур: G₂/(1 + G₂·H₁). Тоді T = G₁·Gᵢ/(1 + G₁·Gᵢ·H₂).
Загалом T = G₁G₂/(1 + G₂H₁ + G₁G₂H₂). Для статичного коефіцієнта підсилення покладіть s = 0 у кожному блоці.
G₁(0) = 2,5, G₂(0) = 2,5.
Показати відповідь і покроковий розв’язок
Алгебра блок-схем: блоки, з’єднані послідовно, перемножуються (G₁·G₂), блоки, з’єднані паралельно, додаються (G₁ + G₂), а контур із прямим шляхом G і шляхом зворотного зв’язку H зводиться до T = G/(1 + G·H) для від’ємного зворотного зв’язку та G/(1 − G·H) для додатного. Спершу згортайте внутрішні контури, потім рухайтеся назовні. Полюси замкненої системи — корені характеристичного рівняння 1 + G(s)H(s) = 0. Для стійкого контуру вхідна сходинка розміром A дає усталений вихід A·T(0); за одиничного зворотного зв’язку усталена похибка на сходинку дорівнює A/(1 + Kp), де Kp = G(0).
Система керування — це ланцюг частин: регулятор, двигун, датчик. Блок-схема зображує кожну частину як прямокутник, а кожен сигнал як стрілку.
Це найважливіша картина в керуванні. Вихід C вимірюється через H і віднімається від завдання R. Різниця E = R − H·C — це похибка, що керує G.
Блок-схеми: як розв’язувати задачі крок за кроком?
Алгебра блок-схем: блоки, з’єднані послідовно, перемножуються (G₁·G₂), блоки, з’єднані паралельно, додаються (G₁ + G₂), а контур із прямим шляхом G і шляхом зворотного зв’язку H зводиться до T = G/(1 + G·H) для від’ємного зворотного зв’язку та G/(1 − G·H) для додатного. Спершу згортайте внутрішні контури, потім рухайтеся назовні. Полюси замкненої системи — корені характеристичного рівняння 1 + G(s)H(s) = 0. Для стійкого контуру вхідна сходинка розміром A дає усталений вихід A·T(0); за одиничного зворотного зв’язку усталена похибка на сходинку дорівнює A/(1 + Kp), де Kp = G(0).
Блок-схеми: які помилки найпоширеніші?
Перевірте знак у суматорі: шлях G₃ входить зі знаком −.
Додаються лише паралельні блоки; G₁ з’єднаний із ними послідовно й множиться.
Паралельні блоки додаються (з їхніми знаками); вони не перемножуються.
Блок-схеми: що ви тренуєте?
Легка: послідовне, паралельне з’єднання та зворотний зв’язок
Середня: передатні функції замкненої системи та похибки
Складна: збурення, стійкість і полюси
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь. Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Як проходить тренування
Кожна задача має нові значення, тож ви вивчаєте метод, а не відповідь.
Застрягли? Спершу відкрийте невелику підказку, а повне пояснення — лише коли воно знадобиться.
Ваш прогрес, помилки та збережені задачі зберігаються, тож перед іспитом ви зможете все повторити.