Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (−6x3 + 5x + 4)/(2x3 + 2x + 7).

f(x) = (−6x3 + 5x + 4)/(2x3 + 2x + 7)x → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 (1 − cos 3x)/(2x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = 3

Нехай f(x) = ln(x2 + 5). Знайдіть f′(3).

f(x) = ln(x2 + 5)x = 3
f′(3) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 − 15x2 + 63x + 3. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x3 − 15x2 + 63x + 3
x =
5.ОптимізаціяСередня
бік до вулиці: €30/m€8/myyx

Прямокутну ділянку площею 400 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €30 за метр; інші три сторони — €8 за метр. Знайдіть довжину x сторони вздовж вулиці, за якої вартість мінімальна.

A = 400 m²€30/m€8/m
x = m
6.ОптимізаціяСкладна
p (€)R(p)15зараз

Театр продає 880 квитків на виставу по €15. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 20 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 20 більше). Знайдіть ціну квитка p, що максимізує виручку.

880 × €1520 / €1
p = €
7.ІнтегралиСередня
xy13y = x ln x

Обчисліть I = ∫₁3 x·ln x dx.

∫₁3 x ln x dx
I =
8.ІнтегралиСкладна
xy−33

Знайдіть площу A області між параболою y = 9 − x² і віссю x.

y = 9 − x²
A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −3

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(−6 + 5/x2 + 4/x3)/(2 + 2/x2 + 7/x3)

Нехай x → ∞

L = −6/2 = −3

Відповідь

L = −3

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 2,25

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Перше застосування

3·sin 3x/(4x) → 0/0

Друге застосування

9·cos 3x/4

Підставте x = 0

L = 9/4 = 2,25

Відповідь

L = 2,25
3.Похідні

Відповідь: f′(3) = 0,4286

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x2 + 5)

Підставте

f′(3) = 6/14 = 0,4286

Відповідь

f′(3) = 0,4286
4.Похідні

Відповідь: x = 3

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 − 30x + 63 = 3·(x2 − 10x + 21)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 3 або x = 7

Що є що

f″(x) = 6x − 30: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(3) = −12, f″(7) = 12
x = 3

Відповідь

x = 3
5.Оптимізація

Відповідь: x = 12,98 m

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 38x + 6400/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 12800/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(6400/38) = 12,98 m
y = 400/12,98 = 30,82 m

Мінімальна вартість

C = 38·12,98 + 6400/12,98 = €986,3

Відповідь

x = 12,98 m
6.Оптимізація

Відповідь: p = 29,5 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Виручка як функція ціни

n(p) = 1180 − 20p
R(p) = 1180p − 20p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −40 < 0, тож це максимум.

p = 1180/40 = €29,5

Максимальна виручка

n = 1180 − 20·29,5 = 590
R = 29,5·590 = €17405

Відповідь

p = €29,5
7.Інтеграли

Відповідь: I = 2,944

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первісна

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Границі

(4,5·ln 3 − 2,25) − (0 − 0,25) = 2,944

Відповідь

I = 2,944
8.Інтеграли

Відповідь: A = 36

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Нулі

9 − x² = 0 → x = ±3

Інтегруйте

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Відповідь

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1