Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^2x. Дайте десяткове значення.

f(x) = (1 + 2/x)^2xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (2x + 5)⁵. Знайдіть f′(−1).

f(x) = (2x + 5)⁵x = −1

f′(−1) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 10,5x² + 30x + 2. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ − 10,5x² + 30x + 2

x =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 450 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €30 за метр; інші три сторони — €12 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 450 m²€30/m€12/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €55 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 24000 + 6q + 0,01q² євро. Знайдіть максимальний прибуток P.

p = €55C = 24000 + 6q + 0,01q²

P = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 2]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 0,5x² і y = 3x.

y = 0,5x²y = 3x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 54,6

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Візьміть логарифм

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 2/x)

Обчисліть

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, тож x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·2 = 4

Позбудьтеся логарифма

L = e⁴ = 54,6

Відповідь

L = 54,6

2.Границі

Відповідь: L = 2

Перше застосування

2·sin 2x/(2x) → 0/0

Друге застосування

4·cos 2x/2

Підставте x = 0

L = 4/2 = 2

Відповідь

L = 2

3.Похідні

Відповідь: f′(−1) = 810

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 5·(2x + 5)⁴·2

Підставте

f′(−1) = 5·3⁴·2 = 810

Відповідь

f′(−1) = 810

4.Похідні

Відповідь: x = 2

Похідна

f′(x) = 3x² − 21x + 30 = 3·(x² − 7x + 10)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 2 або x = 5

Що є що

f″(x) = 6x − 21: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(2) = −9, f″(5) = 9

x = 2

Відповідь

x = 2

5.Оптимізація

Відповідь: C = 1347 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 42x + 10800/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 21600/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(10800/42) = 16,04 m

y = 450/16,04 = 28,06 m

Мінімальна вартість

C = 42·16,04 + 10800/16,04 = €1347

Відповідь

C = €1347

6.Оптимізація

Відповідь: P = 36025 €

Функція прибутку

P(q) = 55q − (24000 + 6q + 0,01q²) = −0,01q² + 49q − 24000

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,02 < 0, тож це максимум.

49 − 0,02q = 0 → q = 2450

Максимальний прибуток

P = 49·2450 − 0,01·2450² − 24000 = €36025

Відповідь

P = €36025

7.Інтеграли

Відповідь: I = 26,8

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^2x/2

Підставте межі

I = (e⁴ − 1)/2 = (54,6 − 1)/2 = 26,8

Відповідь

I = 26,8

8.Інтеграли

Відповідь: A = 18

Точки перетину

0,5x² = 3x → x = 0, x = 6

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [1,5x² − 0,1667x³]₀⁶ = 18

Відповідь

A = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1