Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (4x² − 4x + 1)/(3x² + 6x + 6).

f(x) = (4x² − 4x + 1)/(3x² + 6x + 6)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(3x), x у радіанах. Знайдіть f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 3x² − x − 5 у точці x = −1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 3x² − x − 5x = −1

b =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 800 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €25 за метр; інші три сторони — €10 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 800 m²€25/m€10/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Театр продає 240 квитків на виставу по €20. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 10 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 10 більше). Знайдіть ціну квитка p, що максимізує виручку.

240 × €2010 / €1

p = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² e^x dx.

f(x) = e^x[0, 2]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = x.

y = 2x²y = x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1,333

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(4 + (−4)/x + 1/x²)/(3 + 6/x + 6/x²)

Нехай x → ∞

L = 4/3 = 1,333

Відповідь

L = 1,333

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 0,5

Перше застосування

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Друге застосування

4·cos 2x/8

Підставте x = 0

L = 4/8 = 0,5

Відповідь

L = 0,5

3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 5,482

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Підставте

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Відповідь

f′(2) = 5,482

4.Похідні

Відповідь: b = −8

Точка і нахил

f(−1) = −1

f′(x) = 6x − 1 → f′(−1) = −7

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−7)·(−1) = −8

Відповідь

b = −8

5.Оптимізація

Відповідь: C = 1497 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 35x + 16000/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 32000/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(16000/35) = 21,38 m

y = 800/21,38 = 37,42 m

Мінімальна вартість

C = 35·21,38 + 16000/21,38 = €1497

Відповідь

C = €1497

6.Оптимізація

Відповідь: p = 22 €

Виручка як функція ціни

n(p) = 440 − 10p

R(p) = 440p − 10p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −20 < 0, тож це максимум.

p = 440/20 = €22

Максимальна виручка

n = 440 − 10·22 = 220

R = 22·220 = €4840

Відповідь

p = €22

7.Інтеграли

Відповідь: I = 6,389

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^x/1

Підставте межі

I = (e² − 1)/1 = (7,389 − 1)/1 = 6,389

Відповідь

I = 6,389

8.Інтеграли

Відповідь: A = 0,04167

Точки перетину

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Відповідь

A = 0,04167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1