Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (1 + 0,5/x)x. Дайте десяткове значення.

f(x) = (1 + 0,5/x)xx → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 ln(1 + x)/sin(4x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + x)/sin(4x)x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = 1

Нехай f(x) = (3x − 1)4. Знайдіть f′(1).

f(x) = (3x − 1)4x = 1
f′(1) =
4.ПохідніСкладна
xyx = 3

Дотична до f(x) = 2x2 + 5x + 2 у точці x = 3 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 2x2 + 5x + 2x = 3
b =
5.ОптимізаціяСередня
rh

Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 250 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть висоту h банки, за якої витрата матеріалу найменша.

V = 250 cm³
h = cm
6.ОптимізаціяСкладна
p (€)R(p)15зараз

Театр продає 525 квитків на виставу по €15. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 25 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 25 більше). Знайдіть ціну квитка p, що максимізує виручку.

525 × €1525 / €1
p = €
7.ІнтегралиСередня
xy4y = 3x

Область під y = 3x від x = 0 до x = 4 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (конуса).

y = 3x0 ≤ x ≤ 4
V =
8.ІнтегралиСкладна
xy2y = 2xy = x²

Область між прямою y = 2x і параболою y = x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 2xy = x²
V =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1,649

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Візьміть логарифм

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 0,5/x)

Обчисліть

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, тож x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·0,5 = 0,5

Позбудьтеся логарифма

L = e0,5 = 1,649

Відповідь

L = 1,649
2.Границі

Відповідь: L = 0,25

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Правило Лопіталя

L = limx→0 [1/(1 + x)]/[4·cos 4x]

Підставте x = 0

L = 1/4 = 0,25

Відповідь

L = 0,25
3.Похідні

Відповідь: f′(1) = 96

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 4·(3x − 1)3·3

Підставте

f′(1) = 4·23·3 = 96

Відповідь

f′(1) = 96
4.Похідні

Відповідь: b = −16

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Точка і нахил

f(3) = 35
f′(x) = 4x + 5 → f′(3) = 17

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 35 − 17·3 = −16

Відповідь

b = −16
5.Оптимізація

Відповідь: h = 6,828 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція r

h = 250/(πr²)
A(r) = 2πr² + 500/r

Прирівняйте похідну до нуля

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, тож це мінімум.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

Висота й площа

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm
A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

Відповідь

h = 6,828 cm

Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.

6.Оптимізація

Відповідь: p = 18 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Виручка як функція ціни

n(p) = 900 − 25p
R(p) = 900p − 25p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −50 < 0, тож це максимум.

p = 900/50 = €18

Максимальна виручка

n = 900 − 25·18 = 450
R = 18·450 = €8100

Відповідь

p = €18
7.Інтеграли

Відповідь: V = 603,2

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀4 9x² dx

Інтегруйте

V = π·9·4³/3 = 603,2

Відповідь

V = 603,2

Перевірка: конус радіуса 12 і висоти 4 має (1/3)πr²h = 603,2.

8.Інтеграли

Відповідь: V = 13,4

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

2x = 1x² → x = 0, x = 2

Метод шайб

V = π∫₀2 ((2x)² − (1x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4,267 = 13,4

Відповідь

V = 13,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1