Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (1 + 3/x)^x. Дайте десяткове значення.

f(x) = (1 + 3/x)^xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(x)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(2x), x у радіанах. Знайдіть f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 2x² + 2x − 5 у точці x = −2 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 2x² + 2x − 5x = −2

b =

5.ОптимізаціяСередня

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 500 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть мінімальну площу поверхні S.

V = 500 cm³

S = cm²

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 190 − 2q євро за одиницю, а витрати C(q) = 100 + 140q євро. Знайдіть ціну p, що максимізує прибуток.

p = 190 − 2qC = 100 + 140q

p = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₂¹⁰ 5/x dx.

f(x) = 5/x[2, 10]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 4 − x² і віссю x.

y = 4 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 20,09

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Візьміть логарифм

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 3/x)

Обчисліть

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, тож x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·3 = 3

Позбудьтеся логарифма

L = e³ = 20,09

Відповідь

L = 20,09

2.Границі

Відповідь: L = 5

Правило Лопіталя

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[cos x]

Підставте x = 0

L = 5/1 = 5

Відповідь

L = 5

3.Похідні

Відповідь: f′(2) = −3,371

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Підставте

f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371

Відповідь

f′(2) = −3,371

4.Похідні

Відповідь: b = −13

Точка і нахил

f(−2) = −1

f′(x) = 4x + 2 → f′(−2) = −6

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−6)·(−2) = −13

Відповідь

b = −13

5.Оптимізація

Відповідь: S = 300 cm²

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 2000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Висота й площа

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Відповідь

S = 300 cm²

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: p = 165 €

Функція прибутку

P(q) = (190 − 2q)·q − (100 + 140q) = −2q² + 50q − 100

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −4 < 0, тож це максимум.

q = 50/4 = 12,5

Ціна й прибуток

p = 190 − 2·12,5 = €165

P = 50·12,5 − 2·12,5² − 100 = €212,5

Відповідь

p = €165

7.Інтеграли

Відповідь: I = 8,047

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 5·ln x

Підставте межі

I = 5·(ln 10 − ln 2) = 5·ln 5 = 8,047

Відповідь

I = 8,047

8.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Нулі

4 − x² = 0 → x = ±2

Інтегруйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Відповідь

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1