Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(4x² + 4x) − 2x).

f(x) = √(4x² + 4x) − 2xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(5x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(5x)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (4x + 1)³. Знайдіть f′(0).

f(x) = (4x + 1)³x = 0

f′(0) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = x² − 5x − 2 у точці x = 2 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = x² − 5x − 2x = 2

b =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 200 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €40 за метр; інші три сторони — €10 за метр. Знайдіть довжину x сторони вздовж вулиці, за якої вартість мінімальна.

A = 200 m²€40/m€10/m

x = m

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 170 − 0,25q євро за одиницю, а витрати C(q) = 800 + 120q євро. Знайдіть максимальний тижневий прибуток P.

p = 170 − 0,25qC = 800 + 120q

P = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₂⁶ 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 6]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 1 − x² і віссю x.

y = 1 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 4x/(√(4x² + 4x) + 2x)

Поділіть на x

f(x) = 4/(√(4 + 4/x) + 2)

Нехай x → ∞

L = 4/(2 + 2) = 1

Відповідь

L = 1

2.Границі

Відповідь: L = 0,6

Правило Лопіталя

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[5·cos 5x]

Підставте x = 0

L = 3/5 = 0,6

Відповідь

L = 0,6

3.Похідні

Відповідь: f′(0) = 12

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 3·(4x + 1)²·4

Підставте

f′(0) = 3·1²·4 = 12

Відповідь

f′(0) = 12

4.Похідні

Відповідь: b = −6

Точка і нахил

f(2) = −8

f′(x) = 2x − 5 → f′(2) = −1

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −8 − (−1)·2 = −6

Відповідь

b = −6

5.Оптимізація

Відповідь: x = 8,944 m

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 50x + 4000/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 8000/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(4000/50) = 8,944 m

y = 200/8,944 = 22,36 m

Мінімальна вартість

C = 50·8,944 + 4000/8,944 = €894,4

Відповідь

x = 8,944 m

6.Оптимізація

Відповідь: P = 1700 €

Функція прибутку

P(q) = (170 − 0,25q)·q − (800 + 120q) = −0,25q² + 50q − 800

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,5 < 0, тож це максимум.

q = 50/0,5 = 100

Ціна й прибуток

p = 170 − 0,25·100 = €145

P = 50·100 − 0,25·100² − 800 = €1700

Відповідь

P = €1700

7.Інтеграли

Відповідь: I = 4,394

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 4·ln x

Підставте межі

I = 4·(ln 6 − ln 2) = 4·ln 3 = 4,394

Відповідь

I = 4,394

8.Інтеграли

Відповідь: A = 1,333

Нулі

1 − x² = 0 → x = ±1

Інтегруйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Відповідь

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1