Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (−2x² + 2x − 9)/(5x² + 6x + 7).

f(x) = (−2x² + 2x − 9)/(5x² + 6x + 7)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·e^−0,5x. Знайдіть f′(1).

f(x) = x·e^−0,5xx = 1

f′(1) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 4,5x² + 6x − 3. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ − 4,5x² + 6x − 3

x =

5.ОптимізаціяСередня

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 13500 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть висоту h.

V = 13500 cm³

h = cm

6.ОптимізаціяСкладна

Театр продає 1250 квитків на виставу по €15. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 50 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 50 більше). Знайдіть максимальну виручку R за виставу.

1250 × €1550 / €1

R = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁⁵ x·ln x dx.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −0,4

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(−2 + 2/x + (−9)/x²)/(5 + 6/x + 7/x²)

Нехай x → ∞

L = −2/5 = −0,4

Відповідь

L = −0,4

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 1,125

Перше застосування

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Друге застосування

2,25·e^1,5x/2

Підставте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Відповідь

L = 1,125

3.Похідні

Відповідь: f′(1) = 0,3033

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(1 + (−0,5)·x)

Підставте

f′(1) = 0,6065·(1 + (−0,5)) = 0,3033

Відповідь

f′(1) = 0,3033

4.Похідні

Відповідь: x = 2

Похідна

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 1 або x = 2

Що є що

f″(x) = 6x − 9: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 2

Відповідь

x = 2

5.Оптимізація

Відповідь: h = 15 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 54000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Висота й площа

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Відповідь

h = 15 cm

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: R = 20000 €

Виручка як функція ціни

n(p) = 2000 − 50p

R(p) = 2000p − 50p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −100 < 0, тож це максимум.

p = 2000/100 = €20

Максимальна виручка

n = 2000 − 50·20 = 1000

R = 20·1000 = €20000

Відповідь

R = €20000

7.Інтеграли

Відповідь: I = 14,12

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первісна

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Границі

(12,5·ln 5 − 6,25) − (0 − 0,25) = 14,12

Відповідь

I = 14,12

8.Інтеграли

Відповідь: A = 1,125

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Точки перетину

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Відповідь

A = 1,125

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1