Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(x² + 4x) − x).

f(x) = √(x² + 4x) − xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·e^−x. Знайдіть f′(2).

f(x) = x·e^−xx = 2

f′(2) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 7,5x² + 12x + 6. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ − 7,5x² + 12x + 6

x =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 600 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €40 за метр; інші три сторони — €8 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 600 m²€40/m€8/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Театр продає 480 квитків на виставу по €20. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 20 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 20 більше). Знайдіть ціну квитка p, що максимізує виручку.

480 × €2020 / €1

p = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Обчисліть I = ∫₀^2,5 x²·eˣ dx.

∫₀^2,5 x²eˣ dx

I =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 2

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 4x/(√(x² + 4x) + x)

Поділіть на x

f(x) = 4/(√(1 + 4/x) + 1)

Нехай x → ∞

L = 4/(1 + 1) = 2

Відповідь

L = 2

2.Границі

Відповідь: L = 0,5

Перше застосування

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

Друге застосування

1·e^−x/2

Підставте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Відповідь

L = 0,5

3.Похідні

Відповідь: f′(2) = −0,1353

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(1 + (−1)·x)

Підставте

f′(2) = 0,1353·(1 + (−2)) = −0,1353

Відповідь

f′(2) = −0,1353

4.Похідні

Відповідь: x = 4

Похідна

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 1 або x = 4

Що є що

f″(x) = 6x − 15: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 4

Відповідь

x = 4

5.Оптимізація

Відповідь: C = 1358 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 48x + 9600/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 19200/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(9600/48) = 14,14 m

y = 600/14,14 = 42,43 m

Мінімальна вартість

C = 48·14,14 + 9600/14,14 = €1358

Відповідь

C = €1358

6.Оптимізація

Відповідь: p = 22 €

Виручка як функція ціни

n(p) = 880 − 20p

R(p) = 880p − 20p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −40 < 0, тож це максимум.

p = 880/40 = €22

Максимальна виручка

n = 880 − 20·22 = 440

R = 22·440 = €9680

Відповідь

p = €22

7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,718

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^x/1

Підставте межі

I = (e¹ − 1)/1 = (2,718 − 1)/1 = 1,718

Відповідь

I = 1,718

8.Інтеграли

Відповідь: I = 37,59

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Перший крок

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Другий крок

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Границі

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Відповідь

I = 37,59

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1