Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (√(9x2 + 9x) − 3x).

f(x) = √(9x2 + 9x) − 3xx → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 (1 − cos 2x)/(2x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = 3

Нехай f(x) = ln(x2 + 5). Знайдіть f′(3).

f(x) = ln(x2 + 5)x = 3
f′(3) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 + 7,5x2 + 12x − 5. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x3 + 7,5x2 + 12x − 5
x =
5.ОптимізаціяСередня
бік до вулиці: €40/m€12/myyx

Прямокутну ділянку площею 450 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €40 за метр; інші три сторони — €12 за метр. Знайдіть довжину x сторони вздовж вулиці, за якої вартість мінімальна.

A = 450 m²€40/m€12/m
x = m
6.ОптимізаціяСкладна
qP(q)максимум

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 130 − 0,2q євро за одиницю, а витрати C(q) = 900 + 70q євро. Знайдіть ціну p, що максимізує прибуток.

p = 130 − 0,2qC = 900 + 70q
p = €
7.ІнтегралиСередня
xy12,5y = x ln x

Обчисліть I = ∫₁2,5 x·ln x dx.

∫₁2,5 x ln x dx
I =
8.ІнтегралиСкладна
xy2y = 2xy = x²

Область між прямою y = 2x і параболою y = x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 2xy = x²
V =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 9x/(√(9x2 + 9x) + 3x)

Поділіть на x

f(x) = 9/(√(9 + 9/x) + 3)

Нехай x → ∞

L = 9/(3 + 3) = 1,5

Відповідь

L = 1,5
2.Границі

Відповідь: L = 1

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Перше застосування

2·sin 2x/(4x) → 0/0

Друге застосування

4·cos 2x/4

Підставте x = 0

L = 4/4 = 1

Відповідь

L = 1
3.Похідні

Відповідь: f′(3) = 0,4286

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x2 + 5)

Підставте

f′(3) = 6/14 = 0,4286

Відповідь

f′(3) = 0,4286
4.Похідні

Відповідь: x = −4

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 + 15x + 12 = 3·(x2 + 5x + 4)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −4 або x = −1

Що є що

f″(x) = 6x + 15: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9
x = −4

Відповідь

x = −4
5.Оптимізація

Відповідь: x = 14,41 m

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 52x + 10800/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 21600/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(10800/52) = 14,41 m
y = 450/14,41 = 31,22 m

Мінімальна вартість

C = 52·14,41 + 10800/14,41 = €1499

Відповідь

x = 14,41 m
6.Оптимізація

Відповідь: p = 100 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Функція прибутку

P(q) = (130 − 0,2q)·q − (900 + 70q) = −0,2q2 + 60q − 900

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,4 < 0, тож це максимум.

q = 60/0,4 = 150

Ціна й прибуток

p = 130 − 0,2·150 = €100
P = 60·150 − 0,2·150² − 900 = €3600

Відповідь

p = €100
7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,551

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первісна

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Границі

(3,125·ln 2,5 − 1,5625) − (0 − 0,25) = 1,551

Відповідь

I = 1,551
8.Інтеграли

Відповідь: V = 13,4

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

2x = 1x² → x = 0, x = 2

Метод шайб

V = π∫₀2 ((2x)² − (1x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4,267 = 13,4

Відповідь

V = 13,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1