Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(9x² + 3x) − 3x).

f(x) = √(9x² + 3x) − 3xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(3x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(3x)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(3x² + 5). Знайдіть f′(−1).

f(x) = ln(3x² + 5)x = −1

f′(−1) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ + 6x² + 9x + 6. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ + 6x² + 9x + 6

x =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 800 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €40 за метр; інші три сторони — €5 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 800 m²€40/m€5/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Театр продає 440 квитків на виставу по €25. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 10 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 10 більше). Знайдіть максимальну виручку R за виставу.

440 × €2510 / €1

R = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ x·cos x dx (x у радіанах).

∫₀¹ x·cos x dx

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 0,5x² і y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 0,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 3x/(√(9x² + 3x) + 3x)

Поділіть на x

f(x) = 3/(√(9 + 3/x) + 3)

Нехай x → ∞

L = 3/(3 + 3) = 0,5

Відповідь

L = 0,5

2.Границі

Відповідь: L = 1,333

Правило Лопіталя

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[3·cos 3x]

Підставте x = 0

L = 4/3 = 1,333

Відповідь

L = 1,333

3.Похідні

Відповідь: f′(−1) = −0,75

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

Підставте

f′(−1) = −6/8 = −0,75

Відповідь

f′(−1) = −0,75

4.Похідні

Відповідь: x = −1

Похідна

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −3 або x = −1

Що є що

f″(x) = 6x + 12: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −1

Відповідь

x = −1

5.Оптимізація

Відповідь: C = 1200 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 45x + 8000/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 16000/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(8000/45) = 13,33 m

y = 800/13,33 = 60 m

Мінімальна вартість

C = 45·13,33 + 8000/13,33 = €1200

Відповідь

C = €1200

6.Оптимізація

Відповідь: R = 11903 €

Виручка як функція ціни

n(p) = 690 − 10p

R(p) = 690p − 10p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −20 < 0, тож це максимум.

p = 690/20 = €34,5

Максимальна виручка

n = 690 − 10·34,5 = 345

R = 34,5·345 = €11903

Відповідь

R = €11903

7.Інтеграли

Відповідь: I = 0,3818

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первісна

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Границі

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0,3818

Відповідь

I = 0,3818

8.Інтеграли

Відповідь: A = 5,333

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Точки перетину

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Відповідь

A = 5,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1