Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (5x³ + x − 5)/(5x³ + 4x + 7).

f(x) = (5x³ + x − 5)/(5x³ + 4x + 7)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(3x), x у радіанах. Знайдіть f′(0,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ + 3x² − 9x − 3. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ + 3x² − 9x − 3

x =

5.ОптимізаціяСередня

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 4000 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть висоту h.

V = 4000 cm³

h = cm

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 150 − 0,2q євро за одиницю, а витрати C(q) = 7200 + 30q євро. Знайдіть максимальний тижневий прибуток P.

p = 150 − 0,2qC = 7200 + 30q

P = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (x у радіанах).

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(5 + 1/x² + (−5)/x³)/(5 + 4/x² + 7/x³)

Нехай x → ∞

L = 5/5 = 1

Відповідь

L = 1

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 8

Перше застосування

4·sin 4x/(2x) → 0/0

Друге застосування

16·cos 4x/2

Підставте x = 0

L = 16/2 = 8

Відповідь

L = 8

3.Похідні

Відповідь: f′(0.5) = 1,104

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Підставте

f′(0,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Відповідь

f′(0,5) = 1,104

4.Похідні

Відповідь: x = −3

Похідна

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −3 або x = 1

Що є що

f″(x) = 6x + 6: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = −3

Відповідь

x = −3

5.Оптимізація

Відповідь: h = 10 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 16000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Висота й площа

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Відповідь

h = 10 cm

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: P = 10800 €

Функція прибутку

P(q) = (150 − 0,2q)·q − (7200 + 30q) = −0,2q² + 120q − 7200

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,4 < 0, тож це максимум.

q = 120/0,4 = 300

Ціна й прибуток

p = 150 − 0,2·300 = €90

P = 120·300 − 0,2·300² − 7200 = €10800

Відповідь

P = €10800

7.Інтеграли

Відповідь: I = 0,3424

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первісна

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Границі

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0,3424

Відповідь

I = 0,3424

8.Інтеграли

Відповідь: A = 0,3333

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Точки перетину

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Відповідь

A = 0,3333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1