Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(x² + 10x) − x).

f(x) = √(x² + 10x) − xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(x), x у радіанах. Знайдіть f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ + 7,5x² + 18x + 4. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ + 7,5x² + 18x + 4

x =

5.ОптимізаціяСередня

Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 330 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть найменшу можливу площу поверхні A.

V = 330 cm³

A = cm²

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 170 − 0,1q євро за одиницю, а витрати C(q) = 3600 + 110q євро. Знайдіть тижневий обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

p = 170 − 0,1qC = 3600 + 110q

q = од.

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁³ 1/x dx.

f(x) = 1/x[1, 3]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 4 − x² і віссю x.

y = 4 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 10x/(√(x² + 10x) + x)

Поділіть на x

f(x) = 10/(√(1 + 10/x) + 1)

Нехай x → ∞

L = 10/(1 + 1) = 5

Відповідь

L = 5

2.Границі

Відповідь: L = 0,5

Перше застосування

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

Друге застосування

1·e^−x/2

Підставте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Відповідь

L = 0,5

3.Похідні

Відповідь: f′(0.5) = 0,9182

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Підставте

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

Відповідь

f′(0,5) = 0,9182

4.Похідні

Відповідь: x = −3

Похідна

f′(x) = 3x² + 15x + 18 = 3·(x² + 5x + 6)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −3 або x = −2

Що є що

f″(x) = 6x + 15: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3

x = −3

Відповідь

x = −3

5.Оптимізація

Відповідь: A = 264,4 cm²

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція r

h = 330/(πr²)

A(r) = 2πr² + 660/r

Прирівняйте похідну до нуля

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, тож це мінімум.

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3,745 cm

Висота й площа

h = 330/(π·3,745²) = 2r = 7,49 cm

A = 2π·3,745² + 660/3,745 = 264,4 cm²

Відповідь

A = 264,4 cm²

Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.

6.Оптимізація

Відповідь: q = 300 од.

Функція прибутку

P(q) = (170 − 0,1q)·q − (3600 + 110q) = −0,1q² + 60q − 3600

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,2 < 0, тож це максимум.

q = 60/0,2 = 300

Ціна й прибуток

p = 170 − 0,1·300 = €140

P = 60·300 − 0,1·300² − 3600 = €5400

Відповідь

q = 300

7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,099

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = ln x

Підставте межі

I = (ln 3 − ln 1) = ln 3 = 1,099

Відповідь

I = 1,099

8.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Нулі

4 − x² = 0 → x = ±2

Інтегруйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Відповідь

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1