Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(4x² + 5x) − 2x).

f(x) = √(4x² + 5x) − 2xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(4x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (3x − 1)⁴. Знайдіть f′(−1).

f(x) = (3x − 1)⁴x = −1

f′(−1) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ + 6x² + 9x − 6. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ + 6x² + 9x − 6

x =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 600 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €15 за метр; інші три сторони — €5 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 600 m²€15/m€5/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Театр продає 2200 квитків на виставу по €15. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 50 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 50 більше). Знайдіть ціну квитка p, що максимізує виручку.

2200 × €1550 / €1

p = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 9 − x² і віссю x.

y = 9 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1,25

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 5x/(√(4x² + 5x) + 2x)

Поділіть на x

f(x) = 5/(√(4 + 5/x) + 2)

Нехай x → ∞

L = 5/(2 + 2) = 1,25

Відповідь

L = 1,25

2.Границі

Відповідь: L = 1,125

Перше застосування

3·sin 3x/(8x) → 0/0

Друге застосування

9·cos 3x/8

Підставте x = 0

L = 9/8 = 1,125

Відповідь

L = 1,125

3.Похідні

Відповідь: f′(−1) = −768

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 4·(3x − 1)³·3

Підставте

f′(−1) = 4·(−4)³·3 = −768

Відповідь

f′(−1) = −768

4.Похідні

Відповідь: x = −1

Похідна

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −3 або x = −1

Що є що

f″(x) = 6x + 12: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −1

Відповідь

x = −1

5.Оптимізація

Відповідь: C = 692,8 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 20x + 6000/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 12000/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(6000/20) = 17,32 m

y = 600/17,32 = 34,64 m

Мінімальна вартість

C = 20·17,32 + 6000/17,32 = €692,8

Відповідь

C = €692,8

6.Оптимізація

Відповідь: p = 29,5 €

Виручка як функція ціни

n(p) = 2950 − 50p

R(p) = 2950p − 50p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −100 < 0, тож це максимум.

p = 2950/100 = €29,5

Максимальна виручка

n = 2950 − 50·29,5 = 1475

R = 29,5·1475 = €43513

Відповідь

p = €29,5

7.Інтеграли

Відповідь: I = 41,33

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Заміна змінної

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Проінтегруйте й підставте межі

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Відповідь

I = 41,33

8.Інтеграли

Відповідь: A = 36

Нулі

9 − x² = 0 → x = ±3

Інтегруйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Відповідь

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1