Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(4x² + 9x) − 2x).

f(x) = √(4x² + 9x) − 2xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(3x), x у радіанах. Знайдіть f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = −x² + 2x + 1 у точці x = 1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = −x² + 2x + 1x = 1

b =

5.ОптимізаціяСередня

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 500 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть сторону дна x.

V = 500 cm³

x = cm

6.ОптимізаціяСкладна

Театр продає 1700 квитків на виставу по €25. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 50 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 50 більше). Знайдіть максимальну виручку R за виставу.

1700 × €2550 / €1

R = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀³ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 3]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = x² і y = 3x.

y = x²y = 3x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 2,25

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 9x/(√(4x² + 9x) + 2x)

Поділіть на x

f(x) = 9/(√(4 + 9/x) + 2)

Нехай x → ∞

L = 9/(2 + 2) = 2,25

Відповідь

L = 2,25

2.Границі

Відповідь: L = 4,5

Перше застосування

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Друге застосування

9·e^3x/2

Підставте x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Відповідь

L = 4,5

3.Похідні

Відповідь: f′(1.5) = −1,926

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Підставте

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Відповідь

f′(1,5) = −1,926

4.Похідні

Відповідь: b = 2

Точка і нахил

f(1) = 2

f′(x) = −2x + 2 → f′(1) = 0

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − 0·1 = 2

Відповідь

b = 2

5.Оптимізація

Відповідь: x = 10 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 2000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Висота й площа

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Відповідь

x = 10 cm

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: R = 43513 €

Виручка як функція ціни

n(p) = 2950 − 50p

R(p) = 2950p − 50p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −100 < 0, тож це максимум.

p = 2950/100 = €29,5

Максимальна виручка

n = 2950 − 50·29,5 = 1475

R = 29,5·1475 = €43513

Відповідь

R = €43513

7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,554

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Підставте межі

I = (e^−1,5 − 1)/(−0,5) = (0,2231 − 1)/(−0,5) = 1,554

Відповідь

I = 1,554

8.Інтеграли

Відповідь: A = 4,5

Точки перетину

x² = 3x → x = 0, x = 3

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [1,5x² − 0,3333x³]₀³ = 4,5

Відповідь

A = 4,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1