Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (6x² + 4x + 6)/(4x² + 4x + 7).

f(x) = (6x² + 4x + 6)/(4x² + 4x + 7)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(3x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + x)/sin(3x)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(x² + 4). Знайдіть f′(2).

f(x) = ln(x² + 4)x = 2

f′(2) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ + 9x² + 24x + 1. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ + 9x² + 24x + 1

x =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 450 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €40 за метр; інші три сторони — €12 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 450 m²€40/m€12/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €40 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 1600 + 12q + 0,05q² євро. Знайдіть обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

p = €40C = 1600 + 12q + 0,05q²

q = од.

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₂⁴ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 4]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 1 − x² і віссю x.

y = 1 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(6 + 4/x + 6/x²)/(4 + 4/x + 7/x²)

Нехай x → ∞

L = 6/4 = 1,5

Відповідь

L = 1,5

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 0,3333

Правило Лопіталя

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[3·cos 3x]

Підставте x = 0

L = 1/3 = 0,3333

Відповідь

L = 0,3333

3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 0,5

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x² + 4)

Підставте

f′(2) = 4/8 = 0,5

Відповідь

f′(2) = 0,5

4.Похідні

Відповідь: x = −2

Похідна

f′(x) = 3x² + 18x + 24 = 3·(x² + 6x + 8)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −4 або x = −2

Що є що

f″(x) = 6x + 18: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−4) = −6, f″(−2) = 6

x = −2

Відповідь

x = −2

5.Оптимізація

Відповідь: C = 1499 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 52x + 10800/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 21600/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(10800/52) = 14,41 m

y = 450/14,41 = 31,22 m

Мінімальна вартість

C = 52·14,41 + 10800/14,41 = €1499

Відповідь

C = €1499

6.Оптимізація

Відповідь: q = 280 од.

Функція прибутку

P(q) = 40q − (1600 + 12q + 0,05q²) = −0,05q² + 28q − 1600

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,1 < 0, тож це максимум.

28 − 0,1q = 0 → q = 280

Максимальний прибуток

P = 28·280 − 0,05·280² − 1600 = €2320

Відповідь

q = 280

7.Інтеграли

Відповідь: I = 2,079

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 3·ln x

Підставте межі

I = 3·(ln 4 − ln 2) = 3·ln 2 = 2,079

Відповідь

I = 2,079

8.Інтеграли

Відповідь: A = 1,333

Нулі

1 − x² = 0 → x = ±1

Інтегруйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Відповідь

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1