Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (x³ + 4x − 6)/(x³ + 3x + 6).

f(x) = (x³ + 4x − 6)/(x³ + 3x + 6)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (2x − 1)⁵. Знайдіть f′(0).

f(x) = (2x − 1)⁵x = 0

f′(0) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ + 3x² − 9x − 6. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ + 3x² − 9x − 6

x =

5.ОптимізаціяСередня

Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 500 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть радіус r, за якого витрата матеріалу найменша.

V = 500 cm³

r = cm

6.ОптимізаціяСкладна

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €25 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 200 + 6q + 0,2q² євро. Знайдіть максимальний прибуток P.

p = €25C = 200 + 6q + 0,2q²

P = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 4 − x² і віссю x.

y = 4 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(1 + 4/x² + (−6)/x³)/(1 + 3/x² + 6/x³)

Нехай x → ∞

L = 1/1 = 1

Відповідь

L = 1

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 0,125

Перше застосування

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Друге застосування

0,25·e^0,5x/2

Підставте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Відповідь

L = 0,125

3.Похідні

Відповідь: f′(0) = 10

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 5·(2x − 1)⁴·2

Підставте

f′(0) = 5·(−1)⁴·2 = 10

Відповідь

f′(0) = 10

4.Похідні

Відповідь: x = 1

Похідна

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −3 або x = 1

Що є що

f″(x) = 6x + 6: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = 1

Відповідь

x = 1

5.Оптимізація

Відповідь: r = 4,301 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція r

h = 500/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1000/r

Прирівняйте похідну до нуля

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, тож це мінімум.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Висота й площа

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm

A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Відповідь

r = 4,301 cm

Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.

6.Оптимізація

Відповідь: P = 251,3 €

Функція прибутку

P(q) = 25q − (200 + 6q + 0,2q²) = −0,2q² + 19q − 200

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,4 < 0, тож це максимум.

19 − 0,4q = 0 → q = 47,5

Максимальний прибуток

P = 19·47,5 − 0,2·47,5² − 200 = €251,3

Відповідь

P = €251,3

7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,5

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Заміна змінної

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Проінтегруйте й підставте межі

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Відповідь

I = 1,5

8.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Нулі

4 − x² = 0 → x = ±2

Інтегруйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Відповідь

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1