Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (√(9x2 − 7x) − 3x).

f(x) = √(9x2 − 7x) − 3xx → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = 2

Нехай f(x) = x·sin(x), x у радіанах. Знайдіть f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad
f′(2) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 − 7,5x2 + 18x + 6. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x3 − 7,5x2 + 18x + 6
x =
5.ОптимізаціяСередня
rh

Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 400 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть найменшу можливу площу поверхні A.

V = 400 cm³
A = cm²
6.ОптимізаціяСкладна
p (€)R(p)12зараз

Театр продає 160 квитків на виставу по €12. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 10 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 10 більше). Знайдіть максимальну виручку R за виставу.

160 × €1210 / €1
R = €
7.ІнтегралиСередня
xy4y = x

Область під y = x від x = 0 до x = 4 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (конуса).

y = x0 ≤ x ≤ 4
V =
8.ІнтегралиСкладна
xy3y = 6xy = 2x²

Область між прямою y = 6x і параболою y = 2x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 6xy = 2x²
V =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −1,167

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = −7x/(√(9x2 − 7x) + 3x)

Поділіть на x

f(x) = −7/(√(9 + (−7)/x) + 3)

Нехай x → ∞

L = −7/(3 + 3) = −1,167

Відповідь

L = −1,167
2.Границі

Відповідь: L = 0,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Перше застосування

(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0

Друге застосування

1·e−x/2

Підставте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Відповідь

L = 0,5
3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 0,077

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Підставте

f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Відповідь

f′(2) = 0,077
4.Похідні

Відповідь: x = 2

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 − 15x + 18 = 3·(x2 − 5x + 6)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 2 або x = 3

Що є що

f″(x) = 6x − 15: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(2) = −3, f″(3) = 3
x = 2

Відповідь

x = 2
5.Оптимізація

Відповідь: A = 300,5 cm²

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Прирівняйте похідну до нуля

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, тож це мінімум.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Висота й площа

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Відповідь

A = 300,5 cm²

Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.

6.Оптимізація

Відповідь: R = 1960 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Виручка як функція ціни

n(p) = 280 − 10p
R(p) = 280p − 10p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −20 < 0, тож це максимум.

p = 280/20 = €14

Максимальна виручка

n = 280 − 10·14 = 140
R = 14·140 = €1960

Відповідь

R = €1960
7.Інтеграли

Відповідь: V = 67,02

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀4 1x² dx

Інтегруйте

V = π·1·4³/3 = 67,02

Відповідь

V = 67,02

Перевірка: конус радіуса 4 і висоти 4 має (1/3)πr²h = 67,02.

8.Інтеграли

Відповідь: V = 407,2

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

6x = 2x² → x = 0, x = 3

Метод шайб

V = π∫₀3 ((6x)² − (2x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(36·3³/3 − 4·3⁵/5) = π·129,6 = 407,2

Відповідь

V = 407,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1