Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (2x2 − 5x − 5)/(5x2 + 2x + 8).

f(x) = (2x2 − 5x − 5)/(5x2 + 2x + 8)x → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(2x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(2x)x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = 0,5

Нехай f(x) = x·sin(3x), x у радіанах. Знайдіть f′(0,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 − 12x2 + 36x + 1. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x3 − 12x2 + 36x + 1
x =
5.ОптимізаціяСередня
rh

Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 750 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть найменшу можливу площу поверхні A.

V = 750 cm³
A = cm²
6.ОптимізаціяСкладна
p (€)R(p)15зараз

Театр продає 675 квитків на виставу по €15. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 25 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 25 більше). Знайдіть ціну квитка p, що максимізує виручку.

675 × €1525 / €1
p = €
7.ІнтегралиСередня
xy4y = 2x

Область під y = 2x від x = 0 до x = 4 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (конуса).

y = 2x0 ≤ x ≤ 4
V =
8.ІнтегралиСкладна
xy1,5y = x²eˣ

Обчисліть I = ∫₀1,5 x²·eˣ dx.

∫₀1,5 x²eˣ dx
I =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 0,4

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(2 + (−5)/x + (−5)/x2)/(5 + 2/x + 8/x2)

Нехай x → ∞

L = 2/5 = 0,4

Відповідь

L = 0,4

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 2

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Правило Лопіталя

L = limx→0 [4/(1 + 4x)]/[2·cos 2x]

Підставте x = 0

L = 4/2 = 2

Відповідь

L = 2
3.Похідні

Відповідь: f′(0.5) = 1,104

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Підставте

f′(0,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Відповідь

f′(0,5) = 1,104
4.Похідні

Відповідь: x = 2

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 − 24x + 36 = 3·(x2 − 8x + 12)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 2 або x = 6

Що є що

f″(x) = 6x − 24: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(2) = −12, f″(6) = 12
x = 2

Відповідь

x = 2
5.Оптимізація

Відповідь: A = 457 cm²

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція r

h = 750/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1500/r

Прирівняйте похідну до нуля

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, тож це мінімум.

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4,924 cm

Висота й площа

h = 750/(π·4,924²) = 2r = 9,847 cm
A = 2π·4,924² + 1500/4,924 = 457 cm²

Відповідь

A = 457 cm²

Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.

6.Оптимізація

Відповідь: p = 21 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Виручка як функція ціни

n(p) = 1050 − 25p
R(p) = 1050p − 25p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −50 < 0, тож це максимум.

p = 1050/50 = €21

Максимальна виручка

n = 1050 − 25·21 = 525
R = 21·525 = €11025

Відповідь

p = €21
7.Інтеграли

Відповідь: V = 268,1

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀4 4x² dx

Інтегруйте

V = π·4·4³/3 = 268,1

Відповідь

V = 268,1

Перевірка: конус радіуса 8 і висоти 4 має (1/3)πr²h = 268,1.

8.Інтеграли

Відповідь: I = 3,602

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Перший крок

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Другий крок

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Границі

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Відповідь

I = 3,602

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1