Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (−3x3 − 3x − 1)/(5x3 + 6x + 7).

f(x) = (−3x3 − 3x − 1)/(5x3 + 6x + 7)x → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 (1 − cos 2x)/(3x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = −1

Нехай f(x) = ln(3x2 + 1). Знайдіть f′(−1).

f(x) = ln(3x2 + 1)x = −1
f′(−1) =
4.ПохідніСкладна
xyx = −2

Дотична до f(x) = x2 − 2x + 5 у точці x = −2 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = x2 − 2x + 5x = −2
b =
5.ОптимізаціяСередня
xhxбез кришки

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 62500 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть мінімальну площу поверхні S.

V = 62500 cm³
S = cm²
6.ОптимізаціяСкладна
qP(q)максимум

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €80 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 1100 + 38q + 0,2q² євро. Знайдіть максимальний прибуток P.

p = €80C = 1100 + 38q + 0,2q²
P = €
7.ІнтегралиСередня
xy1y = x·cos x

Обчисліть I = ∫₀1 x·cos x dx (x у радіанах).

∫₀1 x·cos x dx
I =
8.ІнтегралиСкладна
xy2y = xy = 0,5x²

Область між прямою y = x і параболою y = 0,5x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = xy = 0,5x²
V =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −0,6

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(−3 + (−3)/x2 + (−1)/x3)/(5 + 6/x2 + 7/x3)

Нехай x → ∞

L = −3/5 = −0,6

Відповідь

L = −0,6

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 0,6667

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Перше застосування

2·sin 2x/(6x) → 0/0

Друге застосування

4·cos 2x/6

Підставте x = 0

L = 4/6 = 0,6667

Відповідь

L = 0,6667
3.Похідні

Відповідь: f′(−1) = −1,5

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x2 + 1)

Підставте

f′(−1) = −6/4 = −1,5

Відповідь

f′(−1) = −1,5
4.Похідні

Відповідь: b = 1

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Точка і нахил

f(−2) = 13
f′(x) = 2x − 2 → f′(−2) = −6

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 13 − (−6)·(−2) = 1

Відповідь

b = 1
5.Оптимізація

Відповідь: S = 7500 cm²

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 250000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Висота й площа

h = 62500/50² = 25 cm
S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Відповідь

S = 7500 cm²

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: P = 1105 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Функція прибутку

P(q) = 80q − (1100 + 38q + 0,2q²) = −0,2q2 + 42q − 1100

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,4 < 0, тож це максимум.

42 − 0,4q = 0 → q = 105

Максимальний прибуток

P = 42·105 − 0,2·105² − 1100 = €1105

Відповідь

P = €1105
7.Інтеграли

Відповідь: I = 0,3818

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первісна

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Границі

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0,3818

Відповідь

I = 0,3818
8.Інтеграли

Відповідь: V = 3,351

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

Метод шайб

V = π∫₀2 ((1x)² − (0,5x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

Відповідь

V = 3,351

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1