Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(x² − 6x) − x).

f(x) = √(x² − 6x) − xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (−2x − 3)⁵. Знайдіть f′(−1).

f(x) = (−2x − 3)⁵x = −1

f′(−1) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 2x² + 3x − 2 у точці x = 1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 2x² + 3x − 2x = 1

b =

5.ОптимізаціяСередня

Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 400 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть найменшу можливу площу поверхні A.

V = 400 cm³

A = cm²

6.ОптимізаціяСкладна

Театр продає 1350 квитків на виставу по €12. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 50 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 50 більше). Знайдіть максимальну виручку R за виставу.

1350 × €1250 / €1

R = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁⁵ 4/x dx.

f(x) = 4/x[1, 5]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −3

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = −6x/(√(x² − 6x) + x)

Поділіть на x

f(x) = −6/(√(1 + (−6)/x) + 1)

Нехай x → ∞

L = −6/(1 + 1) = −3

Відповідь

L = −3

2.Границі

Відповідь: L = 0,125

Перше застосування

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Друге застосування

0,25·e^0,5x/2

Підставте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Відповідь

L = 0,125

3.Похідні

Відповідь: f′(−1) = −10

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 5·(−2x − 3)⁴·(−2)

Підставте

f′(−1) = 5·(−1)⁴·(−2) = −10

Відповідь

f′(−1) = −10

4.Похідні

Відповідь: b = −4

Точка і нахил

f(1) = 3

f′(x) = 4x + 3 → f′(1) = 7

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3 − 7·1 = −4

Відповідь

b = −4

5.Оптимізація

Відповідь: A = 300,5 cm²

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція r

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

Прирівняйте похідну до нуля

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, тож це мінімум.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Висота й площа

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm

A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Відповідь

A = 300,5 cm²

Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.

6.Оптимізація

Відповідь: R = 19013 €

Виручка як функція ціни

n(p) = 1950 − 50p

R(p) = 1950p − 50p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −100 < 0, тож це максимум.

p = 1950/100 = €19,5

Максимальна виручка

n = 1950 − 50·19,5 = 975

R = 19,5·975 = €19013

Відповідь

R = €19013

7.Інтеграли

Відповідь: I = 6,438

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 4·ln x

Підставте межі

I = 4·(ln 5 − ln 1) = 4·ln 5 = 6,438

Відповідь

I = 6,438

8.Інтеграли

Відповідь: A = 0,3333

Точки перетину

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Відповідь

A = 0,3333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1