Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Знайдіть границю L = limx→∞ (−x3 + 3x − 9)/(3x3 + 6x + 1).
Знайдіть границю L = limx→0 (1 − cos 4x)/(4x²), де x у радіанах.
Нехай f(x) = (−2x + 5)4. Знайдіть f′(2).
Дотична до f(x) = x2 − 3x − 4 у точці x = −1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.
Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 400 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть найменшу можливу площу поверхні A.
Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €80 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 400 + 48q + 0,2q² євро. Знайдіть обсяг випуску q, що максимізує прибуток.
Область під y = 3x від x = 0 до x = 4 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (конуса).
Обчисліть I = ∫₀1 x²·eˣ dx.
Відповідь: L = −0,3333
Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).
При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.
Відповідь: L = 2
Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).
Відповідь: f′(2) = −8
Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.
Відповідь: b = −5
Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.
Відповідь: A = 300,5 cm²
Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, тож це мінімум.
Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.
Відповідь: q = 80 од.
Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.
P″(q) = −0,4 < 0, тож це максимум.
Відповідь: V = 603,2
Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.
Перевірка: конус радіуса 12 і висоти 4 має (1/3)πr²h = 603,2.
Відповідь: I = 0,7183
Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1