Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (√(x2 − 3x) − x).

f(x) = √(x2 − 3x) − xx → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = −1

Нехай f(x) = ln(2x2 + 4). Знайдіть f′(−1).

f(x) = ln(2x2 + 4)x = −1
f′(−1) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 + 7,5x2 + 18x + 6. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x3 + 7,5x2 + 18x + 6
x =
5.ОптимізаціяСередня
бік до вулиці: €25/m€12/myyx

Прямокутну ділянку площею 600 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €25 за метр; інші три сторони — €12 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 600 m²€25/m€12/m
C = €
6.ОптимізаціяСкладна
qP(q)максимум

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €25 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 400 + 12q + 0,05q² євро. Знайдіть максимальний прибуток P.

p = €25C = 400 + 12q + 0,05q²
P = €
7.ІнтегралиСередня
xy02

Обчисліть I = ∫02 e−x dx.

f(x) = e−x[0, 2]
I =
8.ІнтегралиСкладна
xy2y = x²eˣ

Обчисліть I = ∫₀2 x²·eˣ dx.

∫₀2 x²eˣ dx
I =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −1,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = −3x/(√(x2 − 3x) + x)

Поділіть на x

f(x) = −3/(√(1 + (−3)/x) + 1)

Нехай x → ∞

L = −3/(1 + 1) = −1,5

Відповідь

L = −1,5
2.Границі

Відповідь: L = 0,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Перше застосування

(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0

Друге застосування

1·e−x/2

Підставте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Відповідь

L = 0,5
3.Похідні

Відповідь: f′(−1) = −0,6667

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x2 + 4)

Підставте

f′(−1) = −4/6 = −0,6667

Відповідь

f′(−1) = −0,6667
4.Похідні

Відповідь: x = −2

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 + 15x + 18 = 3·(x2 + 5x + 6)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −3 або x = −2

Що є що

f″(x) = 6x + 15: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3
x = −2

Відповідь

x = −2
5.Оптимізація

Відповідь: C = 1460 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 37x + 14400/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 28800/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(14400/37) = 19,73 m
y = 600/19,73 = 30,41 m

Мінімальна вартість

C = 37·19,73 + 14400/19,73 = €1460

Відповідь

C = €1460
6.Оптимізація

Відповідь: P = 445 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Функція прибутку

P(q) = 25q − (400 + 12q + 0,05q²) = −0,05q2 + 13q − 400

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,1 < 0, тож це максимум.

13 − 0,1q = 0 → q = 130

Максимальний прибуток

P = 13·130 − 0,05·130² − 400 = €445

Відповідь

P = €445
7.Інтеграли

Відповідь: I = 0,8647

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e−x/(−1)

Підставте межі

I = (e−2 − 1)/(−1) = (0,1353 − 1)/(−1) = 0,8647

Відповідь

I = 0,8647
8.Інтеграли

Відповідь: I = 12,78

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Перший крок

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Другий крок

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Границі

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Відповідь

I = 12,78

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1