Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(x² + 4x) − x).

f(x) = √(x² + 4x) − xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(x), x у радіанах. Знайдіть f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 7,5x² + 12x − 1. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ − 7,5x² + 12x − 1

x =

5.ОптимізаціяСередня

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 500 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть сторону дна x.

V = 500 cm³

x = cm

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 160 − 0,5q євро за одиницю, а витрати C(q) = 1000 + 80q євро. Знайдіть ціну p, що максимізує прибуток.

p = 160 − 0,5qC = 1000 + 80q

p = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = x.

y = 2x²y = x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 2

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 4x/(√(x² + 4x) + x)

Поділіть на x

f(x) = 4/(√(1 + 4/x) + 1)

Нехай x → ∞

L = 4/(1 + 1) = 2

Відповідь

L = 2

2.Границі

Відповідь: L = 0,6667

Перше застосування

2·sin 2x/(6x) → 0/0

Друге застосування

4·cos 2x/6

Підставте x = 0

L = 4/6 = 0,6667

Відповідь

L = 0,6667

3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 0,077

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Підставте

f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Відповідь

f′(2) = 0,077

4.Похідні

Відповідь: x = 4

Похідна

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 1 або x = 4

Що є що

f″(x) = 6x − 15: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 4

Відповідь

x = 4

5.Оптимізація

Відповідь: x = 10 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 2000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Висота й площа

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Відповідь

x = 10 cm

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: p = 120 €

Функція прибутку

P(q) = (160 − 0,5q)·q − (1000 + 80q) = −0,5q² + 80q − 1000

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −1 < 0, тож це максимум.

q = 80/1 = 80

Ціна й прибуток

p = 160 − 0,5·80 = €120

P = 80·80 − 0,5·80² − 1000 = €2200

Відповідь

p = €120

7.Інтеграли

Відповідь: I = 3,75

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Заміна змінної

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Проінтегруйте й підставте межі

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Відповідь

I = 3,75

8.Інтеграли

Відповідь: A = 0,04167

Точки перетину

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Відповідь

A = 0,04167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1