Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (1 + 1/x)x. Дайте десяткове значення.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 (e0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = 2

Нехай f(x) = x3·e−x. Знайдіть f′(2).

f(x) = x3·e−xx = 2
f′(2) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 − 9x2 + 15x − 2. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x3 − 9x2 + 15x − 2
x =
5.ОптимізаціяСередня
бік до вулиці: €30/m€10/myyx

Прямокутну ділянку площею 300 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €30 за метр; інші три сторони — €10 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 300 m²€30/m€10/m
C = €
6.ОптимізаціяСкладна
p (€)R(p)20зараз

Театр продає 960 квитків на виставу по €20. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 40 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 40 більше). Знайдіть ціну квитка p, що максимізує виручку.

960 × €2040 / €1
p = €
7.ІнтегралиСередня
xy1y = √(x)

Область під y = √(x) від x = 0 до x = 1 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (параболоїда).

y = √(x)0 ≤ x ≤ 1
V =
8.ІнтегралиСкладна
xy1,667y = 5xy = 3x²

Область між прямою y = 5x і параболою y = 3x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 5xy = 3x²
V =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 2,718

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Візьміть логарифм

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

Обчисліть

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, тож x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Позбудьтеся логарифма

L = e1 = 2,718

Відповідь

L = 2,718
2.Границі

Відповідь: L = 0,125

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Перше застосування

(0,5·e0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Друге застосування

0,25·e0,5x/2

Підставте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Відповідь

L = 0,125
3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 0,5413

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Підставте

f′(2) = 0,1353·(12 + (−8)) = 0,5413

Відповідь

f′(2) = 0,5413
4.Похідні

Відповідь: x = 5

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 − 18x + 15 = 3·(x2 − 6x + 5)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 1 або x = 5

Що є що

f″(x) = 6x − 18: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(1) = −12, f″(5) = 12
x = 5

Відповідь

x = 5
5.Оптимізація

Відповідь: C = 979,8 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 40x + 6000/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 12000/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(6000/40) = 12,25 m
y = 300/12,25 = 24,49 m

Мінімальна вартість

C = 40·12,25 + 6000/12,25 = €979,8

Відповідь

C = €979,8
6.Оптимізація

Відповідь: p = 22 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Виручка як функція ціни

n(p) = 1760 − 40p
R(p) = 1760p − 40p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −80 < 0, тож це максимум.

p = 1760/80 = €22

Максимальна виручка

n = 1760 − 40·22 = 880
R = 22·880 = €19360

Відповідь

p = €22
7.Інтеграли

Відповідь: V = 1,571

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀1 x dx

Інтегруйте

V = π·1·1²/2 = 1,571

Відповідь

V = 1,571
8.Інтеграли

Відповідь: V = 48,48

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

5x = 3x² → x = 0, x = 1,667

Метод шайб

V = π∫₀1,667 ((5x)² − (3x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(25·1,667³/3 − 9·1,667⁵/5) = π·15,43 = 48,48

Відповідь

V = 48,48

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1