Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (4x² + 5x + 7)/(3x² + 3x + 8).

f(x) = (4x² + 5x + 7)/(3x² + 3x + 8)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x²·e^x. Знайдіть f′(2).

f(x) = x²·e^xx = 2

f′(2) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 7,5x² + 12x − 6. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ − 7,5x² + 12x − 6

x =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 800 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €15 за метр; інші три сторони — €5 за метр. Знайдіть довжину x сторони вздовж вулиці, за якої вартість мінімальна.

A = 800 m²€15/m€5/m

x = m

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 80 − 0,5q євро за одиницю, а витрати C(q) = 300 + 45q євро. Знайдіть тижневий обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

p = 80 − 0,5qC = 300 + 45q

q = од.

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 1]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = x² і y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1,333

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(4 + 5/x + 7/x²)/(3 + 3/x + 8/x²)

Нехай x → ∞

L = 4/3 = 1,333

Відповідь

L = 1,333

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 1,125

Перше застосування

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Друге застосування

2,25·e^1,5x/2

Підставте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Відповідь

L = 1,125

3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 59,11

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

Підставте

f′(2) = 7,389·(4 + 4) = 59,11

Відповідь

f′(2) = 59,11

4.Похідні

Відповідь: x = 4

Похідна

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 1 або x = 4

Що є що

f″(x) = 6x − 15: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 4

Відповідь

x = 4

5.Оптимізація

Відповідь: x = 20 m

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 20x + 8000/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 16000/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(8000/20) = 20 m

y = 800/20 = 40 m

Мінімальна вартість

C = 20·20 + 8000/20 = €800

Відповідь

x = 20 m

6.Оптимізація

Відповідь: q = 35 од.

Функція прибутку

P(q) = (80 − 0,5q)·q − (300 + 45q) = −0,5q² + 35q − 300

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −1 < 0, тож це максимум.

q = 35/1 = 35

Ціна й прибуток

p = 80 − 0,5·35 = €62,5

P = 35·35 − 0,5·35² − 300 = €312,5

Відповідь

q = 35

7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,297

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^0,5x/0,5

Підставте межі

I = (e^0,5 − 1)/0,5 = (1,649 − 1)/0,5 = 1,297

Відповідь

I = 1,297

8.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Точки перетину

x² = 4x → x = 0, x = 4

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Відповідь

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1