Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (−2x3 − 5x + 3)/(4x3 + 2x + 8).

f(x) = (−2x3 − 5x + 3)/(4x3 + 2x + 8)x → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 ln(1 + x)/sin(3x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + x)/sin(3x)x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = 2

Нехай f(x) = x3·e−x. Знайдіть f′(2).

f(x) = x3·e−xx = 2
f′(2) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 − 12x + 1. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x3 − 12x + 1
x =
5.ОптимізаціяСередня
бік до вулиці: €40/m€8/myyx

Прямокутну ділянку площею 200 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €40 за метр; інші три сторони — €8 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 200 m²€40/m€8/m
C = €
6.ОптимізаціяСкладна
qP(q)максимум

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €70 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 300 + 36q + 0,2q² євро. Знайдіть максимальний прибуток P.

p = €70C = 300 + 36q + 0,2q²
P = €
7.ІнтегралиСередня
xy02

Обчисліть I = ∫02 e−0,5x dx.

f(x) = e−0,5x[0, 2]
I =
8.ІнтегралиСкладна
xy2y = xy = 0,5x²

Область між прямою y = x і параболою y = 0,5x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = xy = 0,5x²
V =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −0,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(−2 + (−5)/x2 + 3/x3)/(4 + 2/x2 + 8/x3)

Нехай x → ∞

L = −2/4 = −0,5

Відповідь

L = −0,5

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 0,3333

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Правило Лопіталя

L = limx→0 [1/(1 + x)]/[3·cos 3x]

Підставте x = 0

L = 1/3 = 0,3333

Відповідь

L = 0,3333
3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 0,5413

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Підставте

f′(2) = 0,1353·(12 + (−8)) = 0,5413

Відповідь

f′(2) = 0,5413
4.Похідні

Відповідь: x = −2

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 − 12 = 3·(x2 − 4)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −2 або x = 2

Що є що

f″(x) = 6x: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−2) = −12, f″(2) = 12
x = −2

Відповідь

x = −2
5.Оптимізація

Відповідь: C = 783,8 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 48x + 3200/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 6400/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(3200/48) = 8,165 m
y = 200/8,165 = 24,49 m

Мінімальна вартість

C = 48·8,165 + 3200/8,165 = €783,8

Відповідь

C = €783,8
6.Оптимізація

Відповідь: P = 1145 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Функція прибутку

P(q) = 70q − (300 + 36q + 0,2q²) = −0,2q2 + 34q − 300

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,4 < 0, тож це максимум.

34 − 0,4q = 0 → q = 85

Максимальний прибуток

P = 34·85 − 0,2·85² − 300 = €1145

Відповідь

P = €1145
7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,264

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e−0,5x/(−0,5)

Підставте межі

I = (e−1 − 1)/(−0,5) = (0,3679 − 1)/(−0,5) = 1,264

Відповідь

I = 1,264
8.Інтеграли

Відповідь: V = 3,351

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

Метод шайб

V = π∫₀2 ((1x)² − (0,5x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

Відповідь

V = 3,351

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1