Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^2x. Дайте десяткове значення.

f(x) = (1 − 2/x)^2xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(3x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(2x² + 4). Знайдіть f′(1).

f(x) = ln(2x² + 4)x = 1

f′(1) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = −x² − 3x + 6 у точці x = 1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = −x² − 3x + 6x = 1

b =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 800 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €20 за метр; інші три сторони — €12 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 800 m²€20/m€12/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 180 − 0,2q євро за одиницю, а витрати C(q) = 1100 + 125q євро. Знайдіть максимальний тижневий прибуток P.

p = 180 − 0,2qC = 1100 + 125q

P = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 2]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 4 − x² і віссю x.

y = 4 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 0,01832

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Візьміть логарифм

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 2/x)

Обчисліть

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, тож x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−2) = −4

Позбудьтеся логарифма

L = e⁻⁴ = 0,01832

Відповідь

L = 0,01832

2.Границі

Відповідь: L = 4,167

Перше застосування

5·sin 5x/(6x) → 0/0

Друге застосування

25·cos 5x/6

Підставте x = 0

L = 25/6 = 4,167

Відповідь

L = 4,167

3.Похідні

Відповідь: f′(1) = 0,6667

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 4)

Підставте

f′(1) = 4/6 = 0,6667

Відповідь

f′(1) = 0,6667

4.Похідні

Відповідь: b = 7

Точка і нахил

f(1) = 2

f′(x) = −2x − 3 → f′(1) = −5

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − (−5)·1 = 7

Відповідь

b = 7

5.Оптимізація

Відповідь: C = 1568 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 32x + 19200/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 38400/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(19200/32) = 24,49 m

y = 800/24,49 = 32,66 m

Мінімальна вартість

C = 32·24,49 + 19200/24,49 = €1568

Відповідь

C = €1568

6.Оптимізація

Відповідь: P = 2681 €

Функція прибутку

P(q) = (180 − 0,2q)·q − (1100 + 125q) = −0,2q² + 55q − 1100

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,4 < 0, тож це максимум.

q = 55/0,4 = 137,5

Ціна й прибуток

p = 180 − 0,2·137,5 = €152,5

P = 55·137,5 − 0,2·137,5² − 1100 = €2681

Відповідь

P = €2681

7.Інтеграли

Відповідь: I = 0,8647

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^−x/(−1)

Підставте межі

I = (e⁻² − 1)/(−1) = (0,1353 − 1)/(−1) = 0,8647

Відповідь

I = 0,8647

8.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Нулі

4 − x² = 0 → x = ±2

Інтегруйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Відповідь

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1