Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(x² − 8x) − x).

f(x) = √(x² − 8x) − xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(2x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(2x)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (3x − 3)³. Знайдіть f′(−1).

f(x) = (3x − 3)³x = −1

f′(−1) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 9x² + 15x + 3. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ − 9x² + 15x + 3

x =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 1200 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €30 за метр; інші три сторони — €8 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 1200 m²€30/m€8/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €50 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 300 + 24q + 0,2q² євро. Знайдіть максимальний прибуток P.

p = €50C = 300 + 24q + 0,2q²

P = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁⁵ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 5]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Обчисліть I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −4

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = −8x/(√(x² − 8x) + x)

Поділіть на x

f(x) = −8/(√(1 + (−8)/x) + 1)

Нехай x → ∞

L = −8/(1 + 1) = −4

Відповідь

L = −4

2.Границі

Відповідь: L = 2

Правило Лопіталя

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[2·cos 2x]

Підставте x = 0

L = 4/2 = 2

Відповідь

L = 2

3.Похідні

Відповідь: f′(−1) = 324

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 3·(3x − 3)²·3

Підставте

f′(−1) = 3·(−6)²·3 = 324

Відповідь

f′(−1) = 324

4.Похідні

Відповідь: x = 1

Похідна

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 1 або x = 5

Що є що

f″(x) = 6x − 18: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 1

Відповідь

x = 1

5.Оптимізація

Відповідь: C = 1708 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 38x + 19200/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 38400/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(19200/38) = 22,48 m

y = 1200/22,48 = 53,39 m

Мінімальна вартість

C = 38·22,48 + 19200/22,48 = €1708

Відповідь

C = €1708

6.Оптимізація

Відповідь: P = 545 €

Функція прибутку

P(q) = 50q − (300 + 24q + 0,2q²) = −0,2q² + 26q − 300

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,4 < 0, тож це максимум.

26 − 0,4q = 0 → q = 65

Максимальний прибуток

P = 26·65 − 0,2·65² − 300 = €545

Відповідь

P = €545

7.Інтеграли

Відповідь: I = 4,828

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 3·ln x

Підставте межі

I = 3·(ln 5 − ln 1) = 3·ln 5 = 4,828

Відповідь

I = 4,828

8.Інтеграли

Відповідь: I = 12,78

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Перший крок

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Другий крок

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Границі

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Відповідь

I = 12,78

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1