Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(x² + 8x) − x).

f(x) = √(x² + 8x) − xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(5x), де x у радіанах.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(5x)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x³·e^−x. Знайдіть f′(1,5).

f(x) = x³·e^−xx = 1,5

f′(1.5) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 0,5x² + 5x − 5 у точці x = 1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 0,5x² + 5x − 5x = 1

b =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 600 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €30 за метр; інші три сторони — €8 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

A = 600 m²€30/m€8/m

C = €

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 80 − 0,2q євро за одиницю, а витрати C(q) = 1300 + 35q євро. Знайдіть тижневий обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

p = 80 − 0,2qC = 1300 + 35q

q = од.

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = x.

y = 2x²y = x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 4

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 8x/(√(x² + 8x) + x)

Поділіть на x

f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)

Нехай x → ∞

L = 8/(1 + 1) = 4

Відповідь

L = 4

2.Границі

Відповідь: L = 0,6

Правило Лопіталя

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[5·cos 5x]

Підставте x = 0

L = 3/5 = 0,6

Відповідь

L = 0,6

3.Похідні

Відповідь: f′(1.5) = 0,7531

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

Підставте

f′(1,5) = 0,2231·(6,75 + (−3,375)) = 0,7531

Відповідь

f′(1,5) = 0,7531

4.Похідні

Відповідь: b = −5,5

Точка і нахил

f(1) = 0,5

f′(x) = x + 5 → f′(1) = 6

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0,5 − 6·1 = −5,5

Відповідь

b = −5,5

5.Оптимізація

Відповідь: C = 1208 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 38x + 9600/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 19200/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(9600/38) = 15,89 m

y = 600/15,89 = 37,75 m

Мінімальна вартість

C = 38·15,89 + 9600/15,89 = €1208

Відповідь

C = €1208

6.Оптимізація

Відповідь: q = 112,5 од.

Функція прибутку

P(q) = (80 − 0,2q)·q − (1300 + 35q) = −0,2q² + 45q − 1300

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,4 < 0, тож це максимум.

q = 45/0,4 = 112,5

Ціна й прибуток

p = 80 − 0,2·112,5 = €57,5

P = 45·112,5 − 0,2·112,5² − 1300 = €1231

Відповідь

q = 112,5

7.Інтеграли

Відповідь: I = 41,33

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Заміна змінної

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Проінтегруйте й підставте межі

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Відповідь

I = 41,33

8.Інтеграли

Відповідь: A = 0,04167

Точки перетину

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Відповідь

A = 0,04167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1