Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (−5x² + 2x + 3)/(4x² + 6x + 6).

f(x) = (−5x² + 2x + 3)/(4x² + 6x + 6)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(4x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x²·e^0,5x. Знайдіть f′(1,5).

f(x) = x²·e^0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = x² − 5x − 3 у точці x = 1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = x² − 5x − 3x = 1

b =

5.ОптимізаціяСередня

Прямокутну ділянку площею 800 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €25 за метр; інші три сторони — €10 за метр. Знайдіть довжину x сторони вздовж вулиці, за якої вартість мінімальна.

A = 800 m²€25/m€10/m

x = m

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 110 − 0,2q євро за одиницю, а витрати C(q) = 4000 + 30q євро. Знайдіть тижневий обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

p = 110 − 0,2qC = 4000 + 30q

q = од.

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀³ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 3]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = x.

y = 2x²y = x

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −1,25

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(−5 + 2/x + 3/x²)/(4 + 6/x + 6/x²)

Нехай x → ∞

L = −5/4 = −1,25

Відповідь

L = −1,25

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 1,125

Перше застосування

3·sin 3x/(8x) → 0/0

Друге застосування

9·cos 3x/8

Підставте x = 0

L = 9/8 = 1,125

Відповідь

L = 1,125

3.Похідні

Відповідь: f′(1.5) = 8,733

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(2x + 0,5·x²)

Підставте

f′(1,5) = 2,117·(3 + 1,125) = 8,733

Відповідь

f′(1,5) = 8,733

4.Похідні

Відповідь: b = −4

Точка і нахил

f(1) = −7

f′(x) = 2x − 5 → f′(1) = −3

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − (−3)·1 = −4

Відповідь

b = −4

5.Оптимізація

Відповідь: x = 21,38 m

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 35x + 16000/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 32000/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(16000/35) = 21,38 m

y = 800/21,38 = 37,42 m

Мінімальна вартість

C = 35·21,38 + 16000/21,38 = €1497

Відповідь

x = 21,38 m

6.Оптимізація

Відповідь: q = 200 од.

Функція прибутку

P(q) = (110 − 0,2q)·q − (4000 + 30q) = −0,2q² + 80q − 4000

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,4 < 0, тож це максимум.

q = 80/0,4 = 200

Ціна й прибуток

p = 110 − 0,2·200 = €70

P = 80·200 − 0,2·200² − 4000 = €4000

Відповідь

q = 200

7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,554

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Підставте межі

I = (e^−1,5 − 1)/(−0,5) = (0,2231 − 1)/(−0,5) = 1,554

Відповідь

I = 1,554

8.Інтеграли

Відповідь: A = 0,04167

Точки перетину

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Відповідь

A = 0,04167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1