Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(x² + 7x) − x).

f(x) = √(x² + 7x) − xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(3x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(3x²)x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(3x), x у радіанах. Знайдіть f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 1,5x² − 6x + 6. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ − 1,5x² − 6x + 6

x =

5.ОптимізаціяСередня

Закрита циліндрична банка (з верхом і дном) має вміщувати 1000 cm³. Витрата металу пропорційна повній площі поверхні. Знайдіть висоту h банки, за якої витрата матеріалу найменша.

V = 1000 cm³

h = cm

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 90 − 2q євро за одиницю, а витрати C(q) = 300 + 15q євро. Знайдіть максимальний тижневий прибуток P.

p = 90 − 2qC = 300 + 15q

P = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 9 − x² і віссю x.

y = 9 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 3,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 7x/(√(x² + 7x) + x)

Поділіть на x

f(x) = 7/(√(1 + 7/x) + 1)

Нехай x → ∞

L = 7/(1 + 1) = 3,5

Відповідь

L = 3,5

2.Границі

Відповідь: L = 2,667

Перше застосування

4·sin 4x/(6x) → 0/0

Друге застосування

16·cos 4x/6

Підставте x = 0

L = 16/6 = 2,667

Відповідь

L = 2,667

3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 5,482

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Підставте

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Відповідь

f′(2) = 5,482

4.Похідні

Відповідь: x = 2

Похідна

f′(x) = 3x² − 3x − 6 = 3·(x² − x − 2)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −1 або x = 2

Що є що

f″(x) = 6x − 3: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−1) = −9, f″(2) = 9

x = 2

Відповідь

x = 2

5.Оптимізація

Відповідь: h = 10,84 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція r

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

Прирівняйте похідну до нуля

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0, тож це мінімум.

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5,419 cm

Висота й площа

h = 1000/(π·5,419²) = 2r = 10,84 cm

A = 2π·5,419² + 2000/5,419 = 553,6 cm²

Відповідь

h = 10,84 cm

Найдешевша закрита банка має висоту, що дорівнює діаметру: h = 2r.

6.Оптимізація

Відповідь: P = 403,1 €

Функція прибутку

P(q) = (90 − 2q)·q − (300 + 15q) = −2q² + 75q − 300

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −4 < 0, тож це максимум.

q = 75/4 = 18,75

Ціна й прибуток

p = 90 − 2·18,75 = €52,5

P = 75·18,75 − 2·18,75² − 300 = €403,1

Відповідь

P = €403,1

7.Інтеграли

Відповідь: I = 1,718

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^x/1

Підставте межі

I = (e¹ − 1)/1 = (2,718 − 1)/1 = 1,718

Відповідь

I = 1,718

8.Інтеграли

Відповідь: A = 36

Нулі

9 − x² = 0 → x = ±3

Інтегруйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Відповідь

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1